Въведение - логика и логическа форма

С какво се занимава логиката?

Да бъдеш логичен означава, когато се аргументираш или разсъждаваш, да използваш само валидни аргументи. Логиката е научното изследване на валидните аргументи.

Всеки аргумент се състои от предпоставки и някакъв извод (заключение). Както предпоставките, така и заключението са някакви изречения. Ето два примера:

Иван не е болен от грип, защото, ако беше, щеше да има температура, а той няма.
Ако Иван е болен от грип, той би имал температура. Той наистина има температура. Следователно е болен от грип.

И двата аргумента имат по две предпоставки. Когато анализираме някакъв аргумент, понякога ще записваме предпоставките му една под друга, като под тях, отделено с черта, ще записваме заключението:

Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван няма температура.
Иван не е болен от грип.
Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван има температура.
Иван е болен от грип.

Един аргумент е валиден, когато не е възможно предпоставките да са истинни, а заключението – неистинно; и е невалиден, когато е възможно предпоставките да са истинни, а заключението – неистинно. От горните два аргумента първият е логически валиден, защото, ако двете му предпоставки биха били истинни, няма как заключението да е неистинно. Напротив, вторият е логически невалиден, защото е възможно Иван да има температура и да не е болен от грип (а от нещо друго) – тогава предпоставките щяха да се окажат истинни, а заключението – не. Първият аргумент е пример за логично, а вторият – за нелогично разсъждение. В първия случай е налице логическо следване , а във втория – не.

Логическо следване и логическа форма

Заключението на един извод (аргумент) е логически валидно, когато е (логически) невъзможно предпоставките да са истинни, а заключението да е неистинно. Тогава казваме, че заключението следва логически от предпоставките. Логическото следване е от основен интерес за логиката, затова важен логически въпрос е как по принцип (чрез общ метод) да може да бъде определяно дали от дадени предпоставки логически следва дадено заключение. Друг важен въпрос е, ако дадено заключение (обективно) следва от дадени предпоставки, как по принцип (чрез универсална процедура) да може да бъде демонстрирано (доказано), че следва. Без да са един и същ въпрос, двата въпроса са свързани и съвсем не са тривиални. Съвременната логика показва, че първият въпрос е принципно нерешим в своята всеобщност – т.е. няма и не може да има универсална рецепта, чрез която да разбираме дали от дадени предпоставки следва дадено заключение. Вторият обаче е решим – има доказателствени процедури, чрез които, ако едно заключение следва (обективно) от някакви предпоставки, може да бъде доказано, че е така.

Предпоставките и заключението на всеки извод (аргумент) са изречения, но не какви да е изречения, а такива, които могат да бъдат (и са) истинни или неистинни. Ще наричаме такива изречения „твърдения“. От долните изречения само последното е твърдение

Утре вторник ли е?

Кажи какво мислиш без да се притесняваш.

Ех, да бях 20 години по-млад!

Всички гъби са растения.

Въпросите, заповедите, молбите, възклицанията и т.н. са изречения, но не са твърдения, защото не са истинни или неистинни.

Важно е да се прави разлика между това, дали един извод е логически валиден, или не, и това, дали съставящите го твърдения са истинни, или не. Дали някакво заключение следва логически от някакви предпоставки няма нищо общо с това, дали предпоставките и заключението са истинни. Да разгледаме следните две умозаключения:

Всички същества с крила са богове.
Всички хора имат крила.
Всички хора са богове.
Всички хищници са животни.
Всички тигри са животни.
Всички тигри са хищници.

В първото умозаключение и трите твърдения са неистинни, а във второто и трите са истинни, но въпреки това първото е логически валидно, а второто не е. Всеки, който би направил първия извод, би бил по-логичен от всеки, който би направил втория, въпреки че светът, в който първият би живял, би бил много по-отдалечен от действителността от този на втория, по-нелогичен човек. Причината за логическата валидност на първия извод е, че, ако предпоставките бяха истинни, заключението щеше (по необходимост) да бъде истинно – т.е. невъзможно е предпоставките да са истинни и в същото време заключението да е неистинно, което, както обърнахме внимание по-горе, е критерият за логическа валидност. Напротив, въпреки че всички твърдения във второто умозаключение са истинни, би било възможно двете предпоставки да са истинни, а заключението да е неистинно, защото не е (логически) невъзможно (макар и да не е факт) тигрите и хищниците да бяха животни, без тигрите да са хищници. Долната диаграма показва защо едно такова положение на нещата е възможно (макар и да не е действително).

Кръговете в диаграмата отговарят на съответните множества от неща. Например това, че кръгът на хищниците е включен напълно в кръга на животните, съответства на положението на нещата множеството на хищниците да е подмножество на множеството на животните, т.е. на това, всички хищници да са животни (първата предпоставка). Това, че в диаграмата както кръгът на хищниците, така и кръгът на тигрите е включен в кръга на животните, отговаря на приемането, че и двете предпоставки („Всички хищници са животни“ и „Всички тигри са животни“) са истинни. Въпреки това приемане кръгът на тигрите (ограден с пунктирана линия) би могъл да има три различни положения спрямо кръгът на хищниците – може напълно да се включва в него (каквото е фактическото положение на нещата), само отчасти да се включва, или напълно да се изключва. Вторите два случая биха направили заключението („Всички тигри са хищници“) неистинно, като в същото време истинността на двете предпоставки би се запазила. Това показва, че е (логически) възможно предпоставките да са истинни, а заключението да е неистинно, което значи, че умозаключението е невалидно – че не гарантира истинност на заключението при истинност на предпоставките.

Напротив, долната диаграма показва, че ако предпоставките на първото умозаключение бяха истинни, няма как заключението също да не е истинно.

Ако предпоставките („Всички същества с крила са богове“ и „Всички хора имат крила“) бяха истинни, кръгът на крилатите същества щеше да се включва напълно в кръга на боговете, а този на хората – в кръга на крилатите същества (както е на диаграмата). Но тогава няма как кръгът на хората да не се включва в този на боговете – т.е. няма как заключението да e неистинно, ако предпоставките бяха истинни. Това ни показва, че изводът е логически валиден, въпреки че изреченията, от които е съставен, са фактически неистинни. Логиката е отвъд фактическото положение на нещата – тя взима предвид всеки възможен свят.

Определяща за логическата валидност или невалидност на един извод е неговата структура, а не думите, които го изграждат, т.е. важна е формата, а не съдържанието му. Така например, както и да променяме съдържанието на изреченията в горните две умозаключения, като променяме думите в тях, стига само да запазим структурата им като цяло (т.е. да запазим логическата им форма), първото ще продължи да бъде логически валидно, а второто – логически невалидно. Например долните две умозаключения са получени от горните, като са сменени съдържателните думи и изрази в тях, в резултат на което предметът на изреченията е напълно променен; формата на умозаключенията като цяло обаче е същата:

Всеки, който си е забравял чадъра у нас, е бил мъж.
Всички мои приятели, родени през март, са си забравяли чадъра у нас.
Всички мои приятели, родени през март, са мъже.
Всяка катерица е бозайник.
Всеки слон е бозайник.
Всеки слон е катерица.

Първото умозаключение е получено от първото по-горе, като изразът „същество с крила“ е заменен с „(човек), който си е забравял чадъра у нас“, „бог“ – с „мъж“ и „човек“ – с „мой приятел“, а второто е получено от второто по-горе, като „хищник“ е заменен с „катерица“, „животно“ – с „бозайник“ и „тигър“ – със „слон“. В резултат на замяната всяко от трите неистинни изречения в първото умозаключение се е превърнало в такова, което би могло да е както истинно, така и неистинно (зависи кой казва твърденията), а във второто предпоставките продължават да бъдат истинни, но заключението е станало неистинно. Тази промяна обаче не се отразява върху валидността или невалидността на умозаключенията – първото продължава да е валидно, а второто – не, и причината е същата, посочена с диаграми по-горе.

Тъй като за логическата валидност или невалидност на един извод е определяща неговата форма, а не съдържанието му, в логиката се използват символи, които заместват съдържателните изрази в изреченията, така че да изпъкне логическата форма. Така например, ако заменим съдържателните изрази в четирите разгледани по-горе умозаключения със символите „S“, „M“ и „P“, ще направим явна логическата им форма. Логическата форма на двете валидни ще е

Всички M са P.
Всички S са М.
Всички S са P.

а на двете невалидни:

Всички P са М.
Всички S са М.
Всички S са P.

Съответно това, че всеки извод, който има първата форма, е логически валиден и всеки, който има втората, е логически невалиден, се вижда от следните две диаграми.

Нека подчертаем отново: това, дали един аргумент е логически валиден, или не, се определя от логическата му форма, а не от съдържанието на твърденията, които участват в него, нито от това, дали последните са истинни, или не. Затова (въпреки че между двете има връзка) да бъдем логични и да говорим истината са две различни неща. Човек може да използва само логически валидни аргументи, но ако тръгва от неистинни предпоставки, е много вероятно да стигне до неистинни заключения; и обратно – въпреки че използва невалидни аргументи, някой би могъл да тръгне от истинни предпоставки и (по случайност) да стигне до истинни заключения. Това което логическата валидност гарантира е, че ако предпоставките са истинни, и заключенията ще са такива. Така че идеалният случай е да тръгваме от истинни предпоставки и да използваме само логически валидни аргументи – тогава ще имаме най-силната възможна гаранция (логическата), че заключенията ни ще бъдат истинни.

Логически думи и изрази

Ако това, което прави един аргумент логически валиден, или невалиден, е логическата му форма, то в какво по-определено се състои тя?

Логическата форма на един аргумент зависи от логическата форма на съставящите го твърдения (предпоставки и заключение), а тяхната логическа форма зависи от думи или изрази, които бихме могли да наречем логически. Такива например са думите „всички“ („всеки“) и „са“ („е“). По-горе направихме явна логическата форма на определени умозаключения, които ги съдържат, като заменихме останалите, нелогическите думи и изрази в тях със символи („S“, „M“ и „P“). Така получихме две схеми за извод:

Всички M са P. Всички P са М.
Всички S са М. Всички S са М.
Всички S са P. Всички S са P.

Независимо с какви думи или изрази биват замествани символите „S“, „M“ и „P“ (един и същ символ – с една и съща дума или израз), от първата схема винаги ще се получава логически валиден извод, а от втората – логически невалиден.

По същия начин стоят нещата с примерите за логически валиден и невалиден извод, които дадохме съвсем в началото:

Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван няма температура.
Иван не е болен от грип.
Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван има температура.
Иван е болен от грип.

Логическата форма на тези два извода се определя от логическите изрази „ако…, то…“ и „не“1. Като заместим останалите, съдържателни изрази в тях, които в случая са цели изречения, със символи, получаваме следните две схеми за извод:

Ако A, то B. Ако A, то B.
Не-B. B
Не-А. A

Всеки аргумент, който има формата на първия извод (т.е., който се получава от първата схема, като заместим „A“ и „B“ с произволни твърдения), ще е логически валиден, и всеки, който има формата на втория, ще е логически невалиден.

Ето някои примери за логически думи и изрази:

„всеки“, „някой“, „никой“, „е“, „съществува“, „и“, „или“, „ако…, то…“, „само ако“, „нито…, нито…“, „освен ако“, „идентично“, „друго“, „необходимо“, „възможно“, …

Логическите, за разлика от нелогическите (съдържателните), думи или изрази се срещат във всички области и контексти. Това отговаря на факта, че (независимо от областта и контекста) когато се говори рационално, се дават някакви аргументи. Валидността на аргументите зависи от логическата им форма, а тя зависи от тези думи или изрази – не от съдържанието на изреченията. Ако човек е логичен, той ще е такъв независимо дали се занимава с политика, философия, биология и т.н. (по същия начин и ако е нелогичен).

Кратка история на логиката

Аристотел е създателят на логиката като наука. Той се занимава най-вече с така наречените „силогизми“. Това са определен вид изводи, в които участват логическите думи „всички“, „някои“, „нито един“ и др. По-горе използвахме силогизми като примери. Силогизъм е например логически валидното умозаключение:

Всички същества с крила са богове.
Всички хора имат крила.
Всички хора са богове.

Логическите съчинения на Аристотел са наречени от неговите последователи (перипатетиците) „Органон“, което значи „инструмент“. Органонът включва книгите Категории, Топика, За интерпретацията, Първа аналитика и Втора аналитика. Основната част от Аристотеловата логика, която се занимава със силогизмите и е наречена съответно „силогистика“, се излага в Първа аналитика.

Поставяйки началото на логиката като наука, Аристотел демонстрира две ключови нейни характеристики:

1) абстрахиране от съдържанието и интерес към формата

2) използване на символи с цел експлициране на формата

Аристотел формулира два принципа, които поставя в основата на всяко теоретично занимание: законът за непротиворечието и законът за изключеното трето. Първият закон гласи, че не може едно твърдение и неговото отрицание да са истинни (и двете), а вторият – че поне едното от тях е истинно. Например ние не знаем дали има, или не, извънземен живот, но законът за непротиворечието ни гарантира, че не може и двете неща да са факт (не може както твърдението „Има извънземен живот“, така и твърдението „Няма извънземен живот“ да са истинни). От своя страна законът за изключеното ни гарантира, че поне едното от двете е факт (поне едното от твърденията „Има извънземен живот“ и „Няма извънземен живот“ е истинно).

Логическите възгледи на Аристотел имат огромно влияние върху западната мисъл. По същество те изчерпват почти всичко, което западният свят има като логика от края на Античността чак до края на 19 в., когато възниква съвременната логика.

Мегаро-стоическата логика води началото си от Евклид от Мегара (5-4 в. пр.н.е.), ученик на Сократ и съвременник на Платон. Учениците му били наричани „мегарци“, а по-късно „диалектици“. Под „диалектика“ древните гърци разбирали размяна на аргументи и контрааргументи между защитници на някаква теза и нейната антитеза, в резултат на което би могло да се стигне до отхвърляне на една от двете позиции или до някаква форма на комбинация (синтез) между тях. Значими фигури сред мегарците били Диодор Крон (4-3 в. пр.н.е.) и неговият ученик Филон (4-3 в. пр.н.е.).

По-късно (3 в. пр.н.е.) логическите възгледи на мегарците били възприети и систематизирани от стоиците, от където идва и названието „мегаро-стоическа логика“. Най-значим логик между стоиците бил Хризип (278-206 в. пр.н.е.), който написал над 300 логически съчинения, от които обаче никое не оцеляло.

Едно от нещата, с които представителите на мегаро-стоическата логика се занимавали, били въпросите за необходимостта и възможността. Например Диодор настоявал, че „невъзможното не следва от възможното“, докато Хризип отричал това. (В наше време с необходимостта и възможността се занимава модалната логика.)

Освен това ги интересувало кога едно условно твърдение (твърдение от вида „Ако А, то В“) е истинно. Филон смятал, че за да е истинно, е достатъчно нещата да не стоят така, че A да е истинно, а B – неистинно, докато Диодор твърдял, че за да е истинно, трябва да не е възможно, А да е истинно, а B – неистинно. Първият възглед отговаря на съвременното разбиране за материална импликация, а вторият – за строга импликация. Изобщо забележителна разлика между мегаро-стоическата логика и логиката на Аристотел е, че представителите на първата се интересували от логическите връзки, чрез които твърденията се свързват в по-сложни твърдения, като израза „ако…, то…“, докато Аристотеловата логика напълно ги игнорира. В наше време с тези връзки се занимава пропозиционалната логика.

Друго нещо, което интересувало представителите на мегаро-стоическата логика, било понятието за значение. Стоиците например смятали, че изразяваното от едно изречение (не нещата, за които говори, а самото му значение), е нещо реално. В наше време терминът за такова реално, отговарящо на значението на едно изречение нещо е „пропозиция“ (друг е въпросът, че много философи не смятат, че такова нещо съществува).

В продължение на векове мегаро-стоическата (а не Аристотеловата) логика била доминиращото логическо учение в античния свят. След края на Римската империя (5 в.) заниманието с логика прекъснало за дълго време, като никакви оригинални произведения от мегаро-стоическата логика не оцелели. Това е и причината за изчезването на тази логическа традиция. Аристотеловата логика имала по-голям късмет.

През така наречените „тъмни векове“ (5–10 в.) една от малкото връзки с логиката на древните гърци бил християнският философ Боеций (480–524), който бил запознат с част от логическите съчинения на Аристотел. До 12 в. единствените достъпни Аристотелови съчинения в западния свят били Категории и За интерпретацията. В началото на 13 в. западът открил и останалите съчиненията от Органона (Първа и Втора аналитика и Топика), в резултат на което възникнала така наречената „схоластическа логика“ – рафинирана форма на Аристотеловата логика, доразвиваща я в детайлите.

В по-широк смисъл под термина „традиционна логика“ се разбира Аристотеловата логика, противопоставена на съвременната логика. В по-тесен смисъл под термина се разбира характерният за Новото време, психологизиран вариант на Аристотеловата логика, началото на който слага един учебник по логика, написан в края на 17 в. – Логика, или изкуството на мисленето (1662) от Антуан Арно и Пиер Никол, който става известен като „Логиката на Пор Роял“. Пор Роял е манастир във Франция, център на теологическото движение на янсенизма. Двамата автори на учебника са видни негови представители, повлияни от философските възгледи на Декарт. Част от учебника вероятно е написана от Блез Паскал. Учебникът придобива огромна популярност и става стандартният учебник по логика във Франция и Англия през 17 и 18 в. Като логическо съдържание традиционната логика следва Аристотеловата, но я психологизира. Докато Аристотел и следващата го схоластическа традиция разглеждат логическата форма като форма на аргументите и твърденията – т.е. като форма на езиковите изрази, традиционната логика отнася логическата форма към мислите или представите и начините на свързването им в съзнанието. За традиционната логика логическата форма е форма на мисленето, а не форма на езика. Вместо за думата „човек“ традиционната логика говори за понятието "човек"; вместо за твърдението „Човекът е смъртен“ – за съждението "Човекът е смъртен"; вместо за някакви изразявани чрез езика аргументи – за умозаключения като процеси на съзнанието и т.н. В своята крайна форма такъв подход към логиката я разглежда като подчинена на психологията и се нарича „психологизъм в логиката“ (термин с негативно значение).

В края на 19 и началото на 20 в., с възникването на съвременната логика, психологизмът в логиката е подложен на унищожителна критика. Съвременното разбиране за логика, дори в още по-голяма степен от това на Аристотел, я свързва с езика – аргументите са съвкупности от твърдения (т.е. езикови неща) и тяхната форма (това, което ги прави логически валидни, или не) зависи от определени логически думи и изрази.

Съвременната логика

В края на 19 в. възниква предикатната логика, наричана още „предикатна логика от първи ред“, която се утвърждава като класическата съвременна логика. Нейните възможности за логически анализ са много по-големи от тези на традиционната, Аристотелова логика. Част от нея, пропозиционалната логика, се занимава с изводите, чиято логическа валидност или невалидност зависи от така наречените „логически съюзи“ – логическите думи, които свързват твърденията в по-сложни, съставни твърдения (като например „и“, „или“, „ако…, то…“ и т.н.). В обхвата на пропозиционалната логика са например споменатите по-горе схеми за извод

Ако A, то B. Ако A, то B.
Не-B. B
Не-А. A

Извън обхвата на пропозиционалната логика, но в този на съдържащата я предикатна логика са изводите, чиято логическа валидност или невалидност зависи от логически думи като „някои“, „всички“, „никой“, „съществува“ и др. Аристотеловата логика се занимава с такива изводи, но силогизмите са само малка (макар и важна) част от всички тях. Съществуват много други видове, които не могат да бъдат анализирани логически по адекватен начин със средствата на традиционната логика. Логическият инструментариум на предикатната логика ѝ позволява да анализира адекватно всеки такъв извод.

Предикатната логика заедно със съдържащата се в нея пропозиционална логика e това, което бихме могли да наречем класическа съвременна логика. Освен това съществуват техни разширения или алтернативи, които понякога се наричат с общото наименование „некласически логики“. Преди всичко тук попада групата на модалните логики. Модалните логики са разширения на класическата логика, които се получават от последната, като към логическите ѝ символи се добавят така наречените „модални оператори“. Модалните оператори са символният еквивалент на думи като „необходимо“, „възможно“, „позволено“, „задължително“ и др. Модалните логики се различават помежду си по това, кои са въпросните думи, на които добавените модални оператори отговарят. В алетичната модална логика това са „необходимо“ и „възможно“; в деонтичната – „задължително“ и „позволено“; в темпоралната – изрази, свързани с миналото и бъдещето, като „винаги е било“, „някога е било“, „винаги ще бъде“, „някога ще бъде“; в епистемичната – думи като „знае“, „вярва“ и др.

Модалните логики са опити за разширение на класическата логика, защото приемат нейните принципи, като се стремят да увеличат обхвата ѝ. Освен тях има и алтернативи на класическата логика, които отхвърлят нейни основни принципи, заменяйки ги с други. Такава е например тризначната логика, в която се отхвърля принципът на бивалентността. Този принцип гласи, че всяко твърдение е истинно или неистинно. В тризначната логика се приема, че някои твърдения не са нито истинни, нито неистинни, а имат някаква трета истинностна стойност – например неопределено или безсмислено.

Друга алтернатива на класическата логика е интуиционистката логика, в която се отрича законът за изключеното трето2 както и други принципи на класическата логика.


1. На „не“ в едно от изреченията отговаря „няма“ (температура). 2. За този закон виж по-горе в историческата част за Аристотел.