1. Пропозиционална логика

1.1 Конюнкция, дизюнкция, отрицание

С какво се занимава пропозиционалната логика?

Пропозиционална логика“ наричаме тази част от логиката, която се занимава с аргументи, чиято логическа валидност зависи от така наречените логически съюзи. Това са съюзи и изрази като „и“, „или“, „освен ако“, „освен че“, „ако…, то…“, „нито…, нито…“ и др.

Когато аргументите, които анализираме логически, са по-прости, можем да разчитаме на логическата си интуиция, за да разграничим валидния от невалидния извод. Например всеки би се съгласил, че първият извод е логически валиден, а вторият не е:

Той e може да плува и да кара ски. Той e може да плува или да кара ски.
Той може да кара ски. Той може да кара ски.

Логическата валидност или невалидност на изводите зависи от тяхната форма, а не от това, за какво се говори в твърденията, които съдържат. Формата изпъква, когато заменим нелогическите изрази със символи. В горните два извода това може да стане по следния начин:

p и q p или q
q q

Очевидно всеки извод, имащ първата форма, ще е валиден и всеки, имащ втората, ще е невалиден.

Колкото по-сложни стават аргументите, толкова по-трудно става да се прецени тяхната логическа валидност. Например при определянето на това, дали следният извод е логически валиден, вече става съмнително дали можем да разчитаме само на логическата си интуиция:

Ако това нещо е животно, то или реагира на дразнения, или може да се движи.
Ако това нещо не реагира на дразнения или не може да се движи, то не е животно.

Като заменим „Това нещо е животно“ с „p“, „Това нещо реагира на дразнения“ – с „q“ и „Това нещо може да се движи“ – с „r“, получаваме следното:

Ако p, то q или r.
Ако не-q или не-r, то не-p.

Извод с такава форма е логически невалиден. Причината е, че е възможно предпоставката да е истинна, а заключението да е неистинно, но за да сме сигурни, че е така, е нужно да използваме определени логически техники, които пропозиционалната логика ни дава. Дори и да приемем, че с помощта на малко разсъждения невалидността на изводи като горния става очевидна, съществуват безкрайно много по-сложни изводи, за които никой човек не би могъл да определи дали са валидни, или не, без да използва определени логически техники.

От друга страна има изводи, които не са сложни, но логическата им валидност отново представлява проблем за интуицията, тъй като се използват рядко (ако изобщо се използват) и не сме свикнали с тях. Да разгледаме например следния извод:

Този предмет е в покой и не е в покой.
Всички прасета могат да летят.

Изводът е логически валиден, но това не изглежда особено очевидно. Една от главните цели на логиката, и в частност на пропозиционалната логика, е да разработи процедури, чрез които за всеки извод, независимо от неговата сложност или от това, дали сме свикнали да го използваме, да може да се провери дали е логически валиден, или не, и ако е валиден, това да може ясно да се покаже.

Отклонявайки се за малко нека се убедим, че горният извод наистина е логически валиден. Валидността му има връзка със закона за непротиворечието. Първо нека направим явна логическата му форма:

p и не-p
q

Между предпоставката и заключението няма връзка, защото, както е в конкретния пример, p и q може да са съвсем независими изречения. Предпоставката изразява логическо противоречие – в нея се утвърждава, че както твърдението p така и неговото отрицание не-p са истинни. Следователно цялата схема за извод изразява това, че от едно противоречие следва всичко (каквото си поискаме изречение). За да се убедим, че това е така, ще приемем истинността на предпоставката, т.е. ще приемем, че както p, така и не-p са истинни, и ще покажем, че тогава каквото и твърдение q да вземем, то също ще е истинно.

Щом p е истинно, ще е истинно и „p или q“ (където q е някакво произволно твърдение) въз основа на следната очевидно валидна схема:

p
p или q

Но понеже по условие и „не-p“ е истинно, от него и „p или q“ ще следва q въз основа на следната също очевидно валидна схема (с което доказваме това което искахме):

p или q
не-p
q

Това, че от едно противоречие логически следва всичко, е едно от нещата, които показват защо сме длъжни да приемем закона за непротиворечието (единия от двата формулирани още от Аристотел закони на логиката.) Когато поддържаме някаква теза, теория или възглед, ние се ангажираме с истинността на твърденията, от които се състои. Това автоматично ни ангажира и с истинността на твърденията, които логически следват от тях. Ако сред началните твърдения има противоречие, тъй като от него следва всичко, сме принудени да се ангажираме с истинността на всяко възможно твърдение („Снегът е бял“, „Снегът не е бял“, „2+2=4“, „2+2≠4“, …). Да твърдиш всичко обаче, е все едно да не твърдиш нищо.

Твърдения и истинностни стойности

Твърденията са някакви изречения, но не какви да е изречения, а такива, които са истинни или неистинни. Истинността или неистинността на едно твърдение ще наричаме негова истинностна стойност. Истинностните стойности съответно са две: истина, която ще означаваме накратко с „И“, и неистина, която ще означаваме с „Н“. Изречения като въпросите, заповедите, възклицанията и пр. не са твърдения; твърдения са само съобщителните изречения. Например от изреченията „Колко е часът?“ (въпросително изречение), „Затвори прозореца!“ (императивно изречение), „Ех, да бях отново млад!“ (възклицателно изречение), „Вселената има начало във времето“ (съобщително изречение) само последното е твърдение.

Не всички съобщителни изречения обаче са сами по себе си истинни или неистинни. „Аз съм болен“ е съобщително изречение, но само по себе си то не е истинно или неистинно, тъй като може да бъде казано в един и същ момент от двама човека и да е истинно, произнесено от единия, и неистинно, произнесено от другия. По същия начин изречението „Тя е болна“, изказано в един контекст, може да е истинно, а в друг – неистинно, тъй като местоимението „тя“ се отнася към различни лица в различни контексти. Без да е определен контекстът също и за изречения като „Иван е болен“ не може да се каже, че са истинни или неистинни сами по себе си, тъй като не е ясно за кой Иван става въпрос. В едно и също време произнесено на едно място изречението „Тук става течение“ е истинно, а произнесено на друго място е неистинно. Изречението „София е далеч“ е истинно, произнесено в Париж, и неистинно, произнесено в Пловдив. Всички тези примери показват, че думи като „аз“, „тя“, „Иван“, „тук“, „далеч“ и др. имат ефекта да променят истинностната стойност на изреченията, в които се срещат, в зависимост от контекста, изказващия изречението, мястото на изказването. За някои изречения подобен ефект оказва и времето. Изречението „Хора са кацали на Луната“ е истинно, изказано в момента, и не е истинно изказано например в 19-ти век. Напротив истинностната стойност на изречения като „Вселената е безкрайна“ и „Всички метали са електропроводими“ не зависи от контекста, мястото, времето или говорителя – те са истинни или неистинни само по себе си. Такива изречение могат да бъдат наречени „вечни изречения“. Когато истинностната стойност на дадено съобщително изречение зависи по някакъв начин от контекста, говорителя, мястото или времето, ще си представяме, че тези параметри са определени (т.е., че е ясно кой го казва, къде го казва, кога и в какъв контекст го казва) и по този начин ще го разглеждаме като съкратен вариант на вечно изречение. Например изречението „София е далеч“, произнесено в Париж, ще разглеждаме като съкратен вариант на изречението „София е далеч от Париж“; същото изречение, произнесено в Пловдив – като съкратен вариант на изречението „София е далеч от Пловдив“ и т.н. Изречението „Аз бях болен вчера“, произнесено от Иван Петров днес, ще бъде разглеждано като съкратен вариант на изречението „Иван Петров е болен на …[вчерашна дата]…“, като ще си представяме, че е ясно кой е човекът, обозначаван с името „Иван Петров“. Всичко това ще ни улесни в нашата логическа работа, защото ще ни позволи да разглеждаме всяко твърдение като имащо определена истинностна стойност.

Прости и съставни твърдения

Посредством изрази като „и“, „или“, „ако…, то…“, „нито…, нито…“ и т.н. свързваме твърдения в по-сложни, съставни твърдения, чиято истинностната стойност зависи по определен начин от истинностната стойност на съставящите ги твърдения. „Просто“ наричаме такова твърдение, което не е съставено от други твърдения. Например съставното твърдение „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ е съставено от простите твърдения „Кризата ще продължи“ и „Данъците ще се увеличат“ посредством съюза „и“. Това твърдение е истинно, ако и двете съставящи го твърдения са истинни, и е неистинно, ако едното от двете или и двете са неистинни. Съставното твърдение „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ е истинно, ако поне едното от съставящите го прости твърдения е истинно, и е неистинно само ако и двете са неистинни. Съставното твърдение „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“ е истинно, ако и двете съставящи го прости твърдения са неистинни, и е неистинно във всички останали случаи.

Посредством последователно прилагане на такива логически връзки могат да бъдат образувани все по-сложни и по-сложни твърдения, като истинностната стойност на цялото твърдение продължава да зависи по определен начин от истинностната стойност на простите твърдения в него. Така например истинностната стойност на твърдението

Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки.

може да бъде еднозначно определена от истинностните стойности на 6-те прости твърдения, които съдържа: „Кризата ще продължи“, „Данъците ще се увеличат“, „Ще има актуализация на бюджета“, „Ще се увеличат заплатите“, „Ще има коледни надбавки“, „Ще има великденски надбавки“. Ако знаем истинностната стойност на тези твърдения, можем да изчислим истинностната стойност на съставното твърдение.

Такива логически връзки, чрез които от по-прости твърдения се образуват по-сложни, така че истинностната стойност на съставното твърдение зависи напълно от истинностната стойност на съставящите го твърдения, се наричат „логически съюзи“. Първият логически съюз, който ще разгледаме, се нарича „конюнкция“.

Конюнкция

Твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ е истинно точно тогава, когато и двете съставящи го твърдения са истинни. Същото важи и за „Кризата ще продължи, а данъците ще се увеличат“, „Кризата ще продължи, но данъците ще се увеличат“, „Кризата ще продължи, въпреки че данъците ще се увеличат“. Изобщо, въпреки разликата в употребата им, изрази като „и“, „а“, „но“, „обаче“, „въпреки че“, „макар че“, „освен че“ и други свързват по такъв начин две твърдения в съставно твърдение, така че то е истинно само когато и двете са истинни. Израз, който свързва по такъв начин две твърдения, се нарича „конюнкция“. Двете твърдения, съдържащи се в една конюнкция, се наричат „конюнкти“. „Конюнкция“ се нарича и самото съставно твърдение, получено по този начин, т.е. ако „p“ и „q“ представят символно две произволни твърдения, конюнкции са всички изрази с формата „p и q“, „p, но q“, „p, обаче q“ и т.н.

Конюнкцията се представя със символа „∧“1, т.е. ако с „p“ представим символно твърдението „Кризата ще продължи“, а с „q“ – твърдението „Данъците ще се увеличат“, твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“, ще се представи с „pq“ (чете се „p конюнкция q“). Малките латински букви „p“, „q“, „r“, „s“, …, с които обикновено представяме символно прости твърдения, ще наричаме „букви за твърдения“.

Начинът, по който истинностната стойност на конюнкцията зависи от истинностните стойности на съставящите я твърдения, се илюстрира от следната таблица, която се нарича „таблица за истинност“.

α β α ∧ β
И И И
И Н Н
Н И Н
Н Н Н

α и β стоят на мястото на произволни твърдения. Всеки от четирите реда на таблицата за истинност отговаря на една възможна комбинация от истинностни стойности на твърденията α и β. Първият ред отговаря на случая, когато и α, и β са истинни, втория – на случая, когато α е истинно, а β е неистинно и т.н. Във всеки от тези случаи в колоната под „α∧β“ е дадена истинностна стойност на конюнкцията между двете твърдения. Конюнкцията е истинна, когато и двете съставящи я твърдения са истинни (първия ред), и неистина във всички останали случаи (останалите три реда).

В естествения език конюнкция се изразява по много начини. Най-простият е чрез съюза „и“. Съюзи като „но“, „въпреки че“, „обаче“ и др. също изразяват конюнкция, но освен отношенията по истинност, съдържащи се в таблицата за истинност (които единствено ни интересуват в логиката), изразяват и нещо допълнително, отнасящо се до отношението на говорещия към това, за което говори. Например с „но“ говорещият посочва контраста между двете неща. В „Иван дойде, но Петър не дойде“ „но“ подчертава контраста между идването на единия и неидването на другия. „Макар че“, „въпреки че“, „обаче“ и т.н. се използват, когато въпросният контраст е по-голям, до степен че предизвиква изненада. В изречението „Въпреки че Иван дойде, Петър не дойде“ се съдържа, че говорещият вероятно е очаквал или и двамата да дойдат, или двамата да не дойдат. „а“ стои някъде между „и“ и „но“ в тази скала на посочване на контраст – понякога бихме го заменили с едното, понякога с другото. Всички тези нюанси в значението на горните съюзи са ирелевантни от логическа гледна точка, защото не засягат отношението между истинностните стойности на съставното твърдение и съставящите го твърдения. За логиката всички тези съюзи изразяват конюнкция.

Понякога „и“ изразява конюнкция без да стои между твърдения. Например в „Ана и Мария са хубави жени“ „и“ не стои между изречения, а между собствени имена; в „Иван се разсърди и си тръгна“ „и“ е между две глагола. Двете изречения са съкратени версии съответно на конюнкциите „Ана е хубава жена и Мария е хубава жена“ и „Иван се разсърди и Иван си тръгна“. По подобен начин „и“ може да стои и между наречия. „Той се справи със задачата бързо и умело“ би могло да се перифразира с „Той се справи със задачата бързо и той се справи със задачата умело“.

Има случаи, когато „и“ не изразява конюнкция. Например изречението „Ана и Мария се разбират добре“ (за разлика от „Ана и Мария са хубави жени“) не може да се перифразира с „Ана се разбира добре и Мария се разбира добре“. Това твърдение трябва да се разглежда като просто – в него не се съдържат други твърдения.

Редът на конюнктите не оказва влияние върху истинностната стойност на конюнкцията. Твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ има същата истинностна стойност като „Данъците ще се увеличат и кризата ще продължи“ – и двете твърдения са истинни само ако са истинни твърденията, от които са съставени.

Понякога освен конюнкция „и“ изразява и последователност във времето. Бихме направили разлика между „Той се съблече и си легна“ и „Той си легна и се съблече“, доколкото при такива твърдения редът на простите твърдения обикновено отговаря на последователност на събитията във времето. Този аспект на употребата на „и“ обаче е допълнителен. Като се абстрахираме от последователността във времето, „и“ изразява конюнкция, защото съставното твърдение би било истинно само ако и двете съставящи го твърдения са истинни.

Примери за конюнкция:

pq p q
Варна и Пловдив са на изток от София. Варна е на изток от София. Пловдив е на изток от София.
Иван и Петър са женени съответно за Ана и Мария. Иван е женен за Ана. Петър е женен за Мария.
Както католиците, така и протестантите вярват във възкресението. Католиците вярват във възкресението. Протестантите вярват във възкресението.
Мария си е вкъщи, но спи. Мария си е вкъщи. Мария спи.
Иван си е вкъщи, обаче Петър не е. Иван е вкъщи. Петър не е вкъщи.
Въпреки че не валеше дъжд, концертът не се състоя. Не валеше дъжд. Концертът не се състоя.
Макар че я обичаше, Петър напусна Мария. Петър обичаше Мария. Петър напусна Мария.

Отрицание

От каквото и твърдение да тръгнем, винаги можем да образуваме неговото отрицание. Това е такова твърдение, чиято истинностна стойност винаги е обратната на началното (отреченото) твърдение. Обикновено отрицание се образува с отрицателната частица „не“. Например отрицанието на „Вселената е безкрайна“ е „Вселената не е безкрайна“. В логическата символика, която ще използваме, на отрицателната частица „не“ отговаря символът „¬“, който ще наричаме „отрицание“.2 Отрицанието е такъв логически съюз, който се прилага към произволно твърдение, в резултат на което се получава неговото отрицание. Ако „p“ представя символно твърдението „Вселената е безкрайна“, „¬p“ (чете се „не p“ или „отрицание p“), ще представя символно твърдението „Вселената не е безкрайна“. За разлика от останалите логически съюзи, които се отнасят към две твърдения, отрицанието се отнася към едно. Също както при конюнкцията „отрицание“ наричаме както самия логически съюз, така и твърдението получено чрез него (частицата „не“ в твърдението „Вселената не е безкрайна“ изразява отрицание и самото твърдение има формата на отрицание).

Начинът, по който едно твърдение с формата на отрицание зависи от отреченото твърдение, е даден в следната таблица за истинност:

α ¬α
И Н
Н И

Ако α (символното представяне на някакво твърдение) има стойност И, „¬α“ има стойност Н, и ако α има стойност Н, „¬α“ има стойност И.

Отрицание не винаги може да се образува само чрез добавяне на частицата „не“. Например отрицанието на „Някои хора са благородни“ не е „Някои хора не са благородни“ (двете твърдения могат да бъдат едновременно истинни), а „Никой човек не е благороден“ – т.е. за да образуваме отрицание, освен добавяне на „не“ тук е необходимо „някои“ да се замени с „никой“). Отрицанието на „Иван понякога закъснява“ не е „Иван понякога не закъснява“ (двете могат отново да бъдат истинни), а „Иван никога не закъснява“ – освен добавяне на „не“ „понякога“ трябва да се замени с „никога“. Специфика на българския език е, че когато отричаното твърдение е в бъдеще време, вместо „не“ се използва „няма“. Отрицанието на „Иван ще дойде на срещата“ е „Иван няма да дойде на срещата“.

Отрицание на едно твърдение може да се образува винаги, като вмъкнем пред него израза „Не е вярно, че“ или „Не е такъв случаят, че“. Например отрицание на „Иван понякога закъснява“ е както „Не е вярно, че Иван понякога закъснява“, така и „Не е такъв случаят, че Иван понякога закъснява“.

Съставните твърдения често нямат главно сказуемо, пред което да се постави отрицателната частица „не“. Тогава обикновено използваме „не е вярно, че …“. Например ако искаме да отречем твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“, можем да го направим като сложим в началото му „Не е вярно, че“ или „Не е такъв случаят, че“:

(1) Не е вярно, че кризата ще продължи и данъците ще се увеличат.

Ако сме представили символно твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ с „pq“, (1) ще се представи с „¬(pq)“. Скобите са нужни, за да се покаже, че се отрича цялата конюнкция, а не само първият ѝ член, както би било при израза „¬pq“. „¬pq“ отговаря на твърдението „Кризата няма да продължи, а данъците ще се увеличат“. Докато „¬pq“ е истинно само в един случай – когато p е неистинно, а q е истинно, „¬(pq)“ е истинно още в два случая – когато p е истинно, а q е неистинно, както и когато и двете са неистинни, защото тогава твърдението в скобите става неистинно и значи отрицанието му става истинно.

Липсата на скоби в естествените езици често е причина някои твърдения да са двусмислени. Например в (1) отрицанието, изразявано от „не е вярно, че“, би могло да се отнася до целия израз „кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“, при което (1) ще отговаря на „¬(pq)“, но би могло също да се отнася само до „кризата ще продължи“, при което (1) ще отговаря на „¬pq“. Както видяхме, между двете твърдения има съществена разлика.

Когато изразяваме отрицание на едно съставно твърдение в символиката на логиката, то се загражда в скоби и пред тях се слага знакът за отрицание, както е при „¬(pq)“. Когато след знака за отрицание няма отваряща скоба, отрицанието се отнася до най-близкото твърдение след него, както е при „¬pq“, където отрицанието се отнася само до „p“. Скоби не слагаме, когато отричаното твърдение самото е отрицание. Например отрицанието на „¬p“ е „¬¬p“, а не „¬(¬p)“. Първото отрицание в „¬¬p“се отнася до „¬p“, тъй като то е най-близкото твърдение след него, а не до „¬“ („¬“ не е твърдение).

Има разлика между твърдения с формата на (1), т.е. твърдения, в които се отрича една конюнкция като цяло („¬(pq)“), и твърдения, в които се отричат двата члена на конюнкцията, като например твърдението „Кризата няма да продължи и данъците няма да се увеличат“. Това което казваме с последното твърдение може да се изрази и чрез „нито…, нито…“ – „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“. Твърдения с формата „Нито p, нито q“ се представят символно с „¬p∧¬q“. С „¬p∧¬q“ се изразява нещо различно от „¬(pq)“, тъй като първият израз е истинен само когато както p, така и q са неистинни, докато за истинността на втория е достатъчно само едното да е неистинно. Твърдението „Не е вярно, че кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ ще истинно, ако кризата продължи, а данъците не се увеличат, докато твърдението „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“ ще е неистинно в този случай.

Примери за отрицания:

¬p p
Иван е непушач. Иван е пушач.
Никой не се обади. Някой се обади.
Ана никога не идва точно навреме. Понякога Ана идва точно навреме.
Иван още не се е прибрал. Иван вече се прибра.

Дизюнкция

За разлика от „и“, „или“ свързва по такъв начин две твърдения в съставно твърдение, че ако едното от тях е истинно, а другото е неистинно, цялото твърдение е истинно. Твърденето „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ ще се окаже истинно както ако кризата продължи, а данъците не бъдат увеличени, така и ако кризата не продължи, а данъците се увеличат. Твърдението ще бъде неистинно, ако и двете твърдения са неистинни, т.е. ако нито кризата продължи, нито данъците се увеличат. Що се отнася до четвъртия възможен случай (когато и двете твърдения са истинни) „или“ има два различни смисъла – включващ и изключващ. Включващото „или“ допуска и двете свързвани твърдения да са истинни, а изключващото не го допуска. Ако в твърдението „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ „или“ е употребено във включващ смисъл, то ще е истинно, ако кризата продължи и данъците се увеличат, но ако е употребено в изключващ смисъл, ще е неистинно тогава. Самото твърдение не показва кой от двата смисъла се има предвид. За да се изключи тази двусмисленост, в края на или-изреченията често се добавя „или и двете“, при включващо „или“, и „но не и двете“, при изключващо. В примерите, които ще използваме, ще приемаме по конвенция, че „или“ се употребява във включващ смисъл освен ако изключващият смисъл не е изразен експлицитно (например чрез добавяне на „но не и двете“).

Логическият съюз, на които отговаря включващото „или“, се нарича дизюнкция. Дизюнкцията се представя символно с „∨“. Ако „p“ представя символно „Кризата ще продължи“, а „q“ – „Данъците ще се увеличат“, твърдението „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ се представя с „pq“ (чете се „p или q“ или „p дизюнкция q“). Както при конюнкцията и отрицанието, „дизюнкция“ наричаме както самия логически съюз, свързващ двете твърдения, така и полученото в резултат на свързването съставно твърдение. Свързваните от дизюнкцията твърдения, се наричат „дизюнкти“.

Дизюнкцията има следната таблица за истинност:

α β α ∨ β
И И И
И Н И
Н И И
Н Н Н

Тя е неистинна само в случая, когато и двата ѝ члена (дизюнкта) са неистинни. Във всички останали случаи е истинна.

Както при конюнкцията, така и при дизюнкцията редът на твърденията няма значение. „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ и „Данъците ще се увеличат или кризата ще продължи“ имат винаги една и съща истинностна стойност.

Освен с „или“ дизюнкция се изразява и с „освен ако (не)“. Твърдението

(2) Кризата ще продължи освен ако се намалят данъците.

ще е истинно, ако кризата продължи и данъците не се намалят, както и ако кризата не продължи и данъците се намалят. Тези два случая, при които едното от двете свързвани от „освен ако“ твърдения е истинно, а другото не, съответстват на средните два реда на таблицата за истинност на дизюнкцията. В случая когато и двете свързвани от „освен ако“ твърдения са неистинни, т.е. ако кризата не продължи, въпреки че данъците не са намалени, очевидно (2) няма да е истинно. Този случай съответства на последния ред на таблицата за истинност на дизюнкцията. До тук истинностната стойност на „p освен ако q“ зависи от истинностните стойности на p и на q точно по същия начин, по който зависи и истинностната стойност на „p или q“. В четвъртия възможен случай, когато и двете твърдения са неистинни, нещата стоят точно както с „или“ – имаме двусмисленост, зависеща от това, какво има предвид говорещият. Затова, ако изключващият смисъл на „освен ако“ не е експлицитно изразен, ще приемаме, че този израз има същия смисъл като на включващо „или“ и затова изразява дизюнкция.

При употребата на (2) във всекидневния език вероятно бихме вмъкнали едно „не“, което не изразява отрицание, защото не променя значението на твърдението: изреченията „Кризата ще продължи освен ако не се намалят данъците“ и „Кризата ще продължи освен ако се намалят данъците“ казват едно и също нещо. Символното представяне на (2) е „pq“, а не „p∨¬q“ („p“ отговаря на „Кризата ще продължи“, а „q“ – на „Ще се намалят данъците“). Така че, поне в този случай, „не“-то в „освен ако не“ не изразява отрицание, а е празно по съдържание.3 Понякога обаче „не“-то в „освен ако не“ не е празно, а изразява отрицание. Такъв е случаят при следния пример:

(3) Ще имаме лекция освен ако преподавателят не дойде.

Бихме променили смисълът на (3), ако махнем „не“-то в него – „Ще имаме лекция освен ако преподавателят дойде“. За разлика от (2), (3) би трябвало да се представи символно не с „pq“, а с „p∨¬q“ („p“ представя символно „Ще имаме лекция“, а „q“ – „Преподавателят ще дойде“). Единственият начин за определяне на това, дали „не“-то в „освен ако не“ изразява отрицание, или не изразява нищо, е да се ориентираме от контекста.

Също както при конюнкцията, има съществена разлика дали отричаме дизюнкцията като цяло, или само първия от двата ѝ члена. За да отречем твърдението „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ бихме използвали твърдението

(4) Не е вярно, че кризата ще продължи или данъците ще се увеличат.

Символното представяне на (4) при това положение е „¬(pq)“. Скобите показват, че отрицанието се отнася към дизюнкцията като цяло. Твърдението би било истинно само ако и p, и q са неистинни, защото само тогава „pq“ би било неистинно, а твърдението е негово отрицание. Поради липсата на скоби в естествения език (4) е двусмислено, тъй като бихме могли да го изтълкуваме също и като „¬pq“ („Кризата няма да продължи или данъците ще се увеличат“). За разлика от „¬(pq)“, което е истинно само ако и p, и q са неистинни, „¬pq“ би било истинно, ако q е истинно.

Липсата на скоби в естествения език води до двусмисленост и при твърдения като следното:

(5) Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат или пенсиите ще намалеят.

Ако представим с „p“ „Кризата ще продължи“, с „q“ – „Данъците ще се увеличат“ и с „r“ – „Пенсиите ще намалеят“, (5) може да бъде изтълкувано един път като „(pq)∨r“ (т.е. като или-твърдение със съставни части и-твърдение и просто твърдение) и втори път като „p∧(qr)“ (т.е. като и-твърдение със съставни части просто твърдение и или-твърдение). Невъзможно е само от изречението да разберем кой от двата смисъла се има предвид. Това е един недостатък на естествения език, защото между „(pq)∨r“ и „p∧(qr)“ има съществена разлика. Например, ако p е неистинно, а r е истинно (независимо какво е q), първото твърдение би било истинно, а второто – неистинно. В писмения вариант на естествения език бихме могли да премахнем тази двусмисленост, ако вместо скоби използваме запетайки, въпреки че бихме нарушили граматическите правила за пунктуацията в българския език: „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат, или пенсиите ще намалеят“ – за „(pq)∨r“ и „Кризата ще продължи, и данъците ще се увеличат или пенсиите ще намалеят“ – за „p∧(qr)“.

Как да представяме символно или-твърдения, в които „или“ има изключващ смисъл? Казахме, че като такива ще разглеждаме само твърдения, в които изключващият смисъл на „или“ е изразен експлицитно, т.е. твърдения с формата „p или q, но не и двете“. Формата на тези твърдения директно показва какво може да бъде тяхното символно представяне. На „или“ отговаря дизюнкция, на „но“ – конюнкция, на „не“ – отрицание. Следователно „p или q, но не и двете“ би трябвало да се представи символно с „(pq)∧¬(pq)“. Това което ни казва този израз е, че поне едното от двете е истинно („pq“), като се добавя, че не са истинни и двете („¬(pq)“).

Когато даден символен израз съдържа като част конюнкция или дизюнкция, те се заграждат със скоби – например „(pq)∧¬(pq)“, „(pq)∨r“, „p∧(qr)“ и т.н. По същия начин скоби би трябвало да има и когато в един символен израз се съдържат няколко конюнкции или няколко дизюнкции, както е при изрази от вида „(α∧β)∧γ“ и „(α∨β)∨γ“. (Използваме „α“, „β“, „γ“, … като заместващи произволни (прости или сложни) символни изрази). α, β и γ могат да се свържат само посредством конюнкции (или само посредством дизюнкции) и по друг начин – „α∧(β∧γ)“ (съответно „α∨(β∨γ)“). Обаче, независимо какво е групирането със скоби, израз, който е образуван от твърдения, свързани само чрез конюнкции (независимо от броя на твърденията), ще истинен само в случая, когато всичките твърдения са истинни, и ще е неистинен, ако сред тях има поне едно неистинно. В примера и „(α∧β)∧γ“, и „α∧(β∧γ)“ ще са истинни само ако α, β и γ са истинни и ще са неистинни във всички останали случаи. Двата израза имат еднакъв смисъл и той е просто, че и трите твърдения (α, β и γ) са истинни. По същият начин, независимо от групирането със скоби, израз, образуван от твърдения (произволен брой), свързани само с дизюнкции, ще е истинен, ако един или повече от дизюнктите са истинни, и ще е неистинен, ако всички дизюнкти са неистинни. В примера „(α∨β)∨γ“ и „α∨(β∨γ)“ ще са истинни, ако поне едно от α, β и γ е истинно, и ще са неистинни, ако и трите са неистинни. Затова двата израза имат еднакъв смисъл и той е просто, че поне едно от α, β и γ е истинно. Тъй като групирането със скоби в такива случаи не е от значение, за удобство можем изобщо да не пишем скоби, като си представяме, че скобите са разположени по някакъв начин, но този начин не е важен. Тогава ще разглеждаме символните изрази от вида „α∧β∧γ∧δ∧ ...“ като отговарящи на изречения от вида „α и β и γ и δ и …“ и съответно символните изрази от вида „α∨β∨γ∨δ∨ ...“ – като отговарящи на изречения от вида „α, или β, или γ, или δ, или …“.

Примери за дизюнкции:

pq p q
Или беше много шумно, или Иван говореше много тихо. Беше много шумно. Иван говореше много тихо.
Или кормилният лост се е счупил, или спирачката е отказала. Кормилният лост се е счупил. Спирачката е отказала.
Това лято ще ходим на едно от двете – на планина или на море. Това лято ще ходим на планина. Това лято ще ходим на море.
Свидетелят ще се яви в съда в сряда освен ако мафията не го убие преди това. Свидетелят ще се яви в съда в сряда. Мафията ще убие свидетеля преди сряда.

Задачи:

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Представете символно всяко от следните твърдения. Предварително посочете с кои букви за твърдения (p, q, r, ...) сте представили символно простите твърдения.

1)4Тази кола не е мощна, но е много икономична.

2)Не е такъв случаят, че Павел е виновен, а Иван не.

3)Волдемор е не само подъл, но и жесток.

4)Гъбите не са нито животни, нито растения.

5)Вселената няма край както във времето, така и в пространството.

6)Утре ще отидем край езерото, освен ако вали.

7)Няма вече да съм ти приятел, освен ако не ми се извиниш.

8)Това не е станало днес или вчера.

9)Мария иска и сладолед, и захарен памук, но няма да получи нито едното от двете.

10)Иван ще отиде на планина или море, с или без Мария.

11)Или действието е умишлено и извършителят е виновен, или не е умишлено, но е проявена непредпазливост.



1. Представя се още с „·“ и с „&“. 2. Други използвани символи са „~“ и черта над отричания израз. 3. Ситуацията в някакъв смисъл наподобява „нелогичното“ изразяване на български на отрицание чрез двойно отрицание. Например казваме „Никой не я е видял“, въпреки че това „не“ от логическа гледна точка изглежда излишно – „по-логично“ щеше да е, ако казвахме „Никой я е видял“. 4. На примерите, номерирани с цифри в bold, е дадено решение.