1.2 Импликация и еквивалентност

Импликация

Логическият съюз на импликацията отговаря на израза „ако…, то...“. Например:

Ако на Марс има живот, то на Марс има вода.

„то“-то в „ако…, то…“ често се изпуска. Импликацията се представя символно с „→“1. Ако „p“ е твърдението „На Марс има живот“, а „q“ – „На Марс има вода“, то горното твърдение ще се представи символно с „pq“.

Освен самият логически съюз, „импликация“ се нарича и условното твърдение, което се образува чрез него.

Твърдението, което изразява условието в една импликация, т.е. твърдението, което стои след частицата „ако“, се нарича „антецедент“, а зависимото от условието твърдение (другото твърдение) се нарича „консеквент“. В примера антецедентът е „На Марс има живот“, а консеквентът – „На Марс има вода“. В символния израз („pq“) антецедентът е „p“, а консеквентът е „q“. Редът на антецедента и консеквента в символния език на логиката е фиксиран: антецедентът винаги е на първо място, а консеквентът – на второ. Напротив, в естествения език антецедентът може да е на второ място, а консеквентът на първо. Твърдението „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“ казва същото като твърдението „На Марс има вода, ако на Марс има живот“ – в първото антецедентът е на първо място, а консеквентът e на второ, докато във второто е обратно. И двете се представят символно с „pq“. Частицата „ако“ е това което показва кой е консеквентът и кой антецедентът в едно твърдение от естествения език, а не редът – антецедентът е изречението, което стои след „ако“.

Таблицата за истинност на импликацията е следната:

α β α → β
И И И
И Н Н
Н И И
Н Н И

Нека видим защо и в какъв смисъл тази таблица отговаря на значението на израза „ако…, то…“. Да вземем като пример твърдението „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“. В случай че се окаже, че на Марс има живот, но няма вода (2-ия ред на таблицата), тогава очевидно твърдението е неистинно. Ако се окаже, че на Марс има живот и има вода (1-вия ред), това е в съгласие с твърдението и тогава то е истинно. Що се отнася до другите два реда на таблицата, изричащият твърдението се ангажира, че на Марс има вода, само в случай че на Марс има живот. Той не се ангажира с нищо, ако условието да има живот на Марс не е изпълнено. Затова в случаите, отговарящи на последните два реда на таблицата (когато няма живот, но има вода, и когато няма нито живот, нито вода), твърдението е в съгласие с положението на нещата и е истинно.

Както показва таблицата за истинност, една импликация е неистинна в един единствен случай – когато антецедентът ѝ е истинен, а консеквентът ѝ е неистинен. Така че това което казваме с „ако p, то q“ е, че не е такъв случаят, че p е истинно, а q е неистинно. С други думи „pq“ има същия смисъл като „¬(p∧¬q)“.

От последните два реда на таблицата за истинност се вижда, че ако антецедентът на една импликация е неистинен, то независимо какъв е консеквентът й, тя ще е истинна. От таблицата също така се вижда (първия и третия ред), че ако консеквентът на една импликация е истинен, то тя ще е истинна, независимо от антецедента й. Това обуславя истинността на твърдения като „Ако Земята е куб, то Луната е в задния ми джоб“ (твърдението е истинно, защото Земята не е куб; истинностната стойност на второто твърдение е без значение), както и истинността на твърдения като „Ако 2+2=4, то София е столица на България“ (то пък е истинно, защото София е столица на България; истинностната стойност на първото твърдение е без значение). Макар че подобни твърдения са истинни, по принцип не ги употребяваме (освен в случаи като „Ако това е вярно, аз съм трамвай“), защото истинността им се дължи на истинността или неистинността само на едното от твърденията в тях. За да имаме право да утвърждаваме такива импликации, трябва да знаем, че едното от двете твърдения е истинно (съответно неистинно). Но ако знаем това, бихме изказали самото твърдение (или отрицанието му), а не бихме го свързвали посредством „ако, то“ с друго твърдение, тъй като по този начин бихме предали по-малко информация. Например, ако твърдо съм решил в събота да отида на кино, без значение какво е времето тогава, и кажа на някого „Ако времето е лошо, в събота ще отида на кино“, не бих излъгал (твърдението е истинно, защото консеквентът му е истинен), но бих предал по-малко информация от това с което разполагам, защото знам, че и да е хубаво времето, пак ще отида на кино. Поради това като правило твърдения с формата „Ако p, то q“ се използват, когато не се знаят истинностните стойности на p и q. Тогава основанието за изказването на твърдението е някаква връзка, било то причинна връзка, логическо следване или някаква друга връзка между това което p и q изразяват. Основанието за изказването на едно твърдение обаче е нещо различно от това което твърдението изразява. С „ако…, то …“ строго погледнато не изразяваме нито причинна връзка, нито логическо следване, нито друг вид закономерност – това което единствено изразяваме е, че не е такъв случаят, че p e факт, а q не e.

Това, че използваме импликация („ако…, то…“) само когато между свързваните от нея твърдения има някаква връзка (все едно от какъв характер), е причина за това, „Ако p, то q“ по принцип да може да се перифразира от една страна с „p е достатъчно условие за q“, а от друга – с „q е необходимо условие за p“. „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“ би могло да се перифразира с „Това, на Марс да има живот, е достатъчно условие за това, на Марс да има вода“. Положението на нещата p е достатъчно условие за положението на нещата q, когато закономерност от някакъв характер гарантира, че ако p е налице, то и q е налице, а с „Ако p, то q“ като правило имаме предвид някаква такава закономерност. В примера с Марс тази закономерност вероятно е някаква биологична закономерност, която обуславя това, че животът може да възникне само във вода. „Ако на Марс има живот, то на Марс има вода“ може да се перифразира и със „Съществуването на вода на Марс е необходимо условие за съществуването на живот на Марс“. Изобщо „Ако p, то q“ може да се перифразира с „q е необходимо условие за p“. Причината е, че „q е необходимо условие за p“ казва същото като „p е достатъчно условие за q“, а вече видяхме, че „Ако p, то q“ обикновено може да се перифразира с „p е достатъчно условие на q“. За да се убедим, че двете са еквивалентни, нека приемем първо, че p е достатъчно условие за q. Тогава, ако q не е налице, няма как p да е налице, защото ако беше (понеже е достатъчно условие за q) q щеше да е налице, а не е. Получава се, че ако p е достатъчно условие за q, то q е необходимо условие за p. Обратно, нека q е необходимо условие за p. Тогава, ако p е налице, задължително и q ще е налице, защото ако не беше, понеже е необходимо условие за p, то и p нямаше да е налице, а p е налице. Получава се, че ако q е необходимо условие за p, то p е достатъчно условие за q, и обратно, което значи, че двете са еквивалентни, т.е. казват едно и също нещо. Да обобщим: когато изказваме една импликация („ако…, то…“-твърдение), ние разглеждаме положението на нещата, изразявано от антецедента ѝ (твърдението след „ако“), като достатъчно условие за положението на нещата, изразявано от консеквента ѝ (твърдението след „то“), и положението на нещата, изразявано от консеквента й, като необходимо условие за положението на нещата, изразявано от антецедента й.

Чрез израза „само ако“ обикновено се изразява необходимо условие. Твърдението „Само ако на Марс има вода, на Марс има живот“ ни казва, че наличието на вода е необходимо условие за наличието на живот на Марс – без вода няма живот. (То обаче не ни казва, че наличието на вода на Марс е достатъчно условие за наличието на живот там – това, че има вода, не гарантира, че има живот.) Когато използваме импликация, като правило имаме предвид, че изразяваното от консеквента ѝ е необходимо условие за изразяваното от антецедента ѝ, затова със „само ако“ изразяваме импликация, но след „само ако“ стои не нейният антецедент, а нейният консеквент. Получава се, че добавянето на „само“ към „ако“ обръща посоката на импликацията. Твърдение от вида „Ако p, то q“ се представя символно с „pq“, а твърдение от вида „Само ако p, то q“ – с „qp“.

Както при „ако“, така и при „само ако“ редът на твърденията в естествения език не е важен. Твърдението „На Марс има живот само ако на Марс има вода“ ни казва същото като твърдението „Само ако на Марс има вода, на Марс има живот“ – и двете се представят символно с „pq“ (p – „На Марс има живот“, q – „На Марс има вода“). Изобщо за определянето на това, кой е антецедентът и кой е консеквентът на една импликация, изразена във всекидневния език, е важен не редът на твърденията, а кое твърдение стои след „ако“ или след „само ако“ – след „ако“ стои антецедентът, а след „само ако“ – консеквентът. Следващата таблица обобщава казаното.

Форма на твърдението в естествения език Символно представяне
Ако p, то q. pq
q, ако p. pq
Само ако p, то q. qp
q само ако p. qp

Начините да се изрази импликация не се ограничават до „ако“ и „само ако“. Импликации например изразяват изразите „при условие че“ и „в случай че“, тъй като имат същия смисъл като „ако“ – „При условие (в случай), че Иван се извини на Мария, тя ще му прости“. Често вместо „ако“ се използва „когато“ – „Мария ще прости на Иван, когато той ѝ се извини.“

В същото време изразът „ако…, то…“ не винаги изразява само една импликация. Понякога той изразява неопределено много (дори безкрайно много) импликации. Така е с твърдението „Ако Иван харесва едно нещо, Мария не го харесва“. Това твърдение може да се перифразира с „Каквото и нещо да вземем, ако Иван го харесва, Мария не го харесва“ и се свежда до съвкупността от неопределено много твърдения с формата на импликации. Тези твърдения се получават по схемата „Ако Иван харесва …, Мария не харесва …“, в която на мястото на точките можем да сложим каквото пожелаем – например „Ако Иван харесва футбол, Мария не харесва футбол“, „Ако Иван харесва Ана, Мария не харесва Ана“ и т.н. „Ако Иван харесва едно нещо, Мария не го харесва“ ще е истинно, ако всички тези много на брой, отнасящи се до конкретни неща, импликации, са истинни. Броят импликациите би могъл и да е безкраен. Така например импликациите, съдържащи се в твърдението „Ако едно число е по-голямо от 9, то е по-голямо от 7“, очевидно са безкрайно много – по една импликация за всяко число („Ако 1 > 9, то 1 > 7“, „Ако 2 > 9, то 2 > 7“ и т.н.). В твърдението „Ако нещо е желязо, то е електропроводимо“ се съдържа по една импликация за всеки предмет в света.

Твърдения като горните, които изразяват много импликации, се наричат „формални импликации“. Те не могат да бъдат представени символно в езика на пропозиционалната логика. За символното им представяне е нужна символиката на предикатната логика.

За да бъде разграничена от формалната импликация, импликацията се нарича още „материална импликация“.

Други „ако…, то…“-изречения, които не са импликации, са така наречените „контра-фактуални условни твърдения“. Такова е например твърдението „Ако Садам Хюсеин не беше нападнал Кувейт, той щеше още да е на власт“. Граматически тези твърдения се различават от импликациите по наклонението – импликациите са в изявително наклонение (индикатив), докато те са в условно наклонение (кондиционал). Твърдението след „ако“ в контра-фактуалните условни твърдения винаги е неистинно, поради което ако тези твърдения изразяваха импликации, щяха да бъдат винаги истинни независимо от съдържанието им. (Когато антецедентът на една импликация е неистинен, импликацията е тривиално истинна.) Дали твърдението „Ако Садам Хюсеин не беше нападнал Кувейт, той още щеше да е на власт“ е истинно, или не обаче, зависи от различни факти относно международното положение и политическата ситуация в Ирак и света; то не е тривиално истинно, само защото Садам Хюсеин е нападнал Кувейт. Също както формалните импликации контра-фактуалните условни твърдения не могат да бъдат представени символно чрез езика на пропозиционалната логика. За символното им представяне е нужен езикът на модалната логика, в който има оператори за необходимост и възможност.

Трябва да се подчертае, че импликацията не изразява логическо следване. Ако от някакво твърдение A логически следва някакво твърдение B, импликацията между двете твърдения (твърдението „Ако А, то В“) задължително е истинна, тъй като тогава не е възможно А да е истинно, а В да е неистинно. Обратното обаче не е вярно. Между А и В може да няма никаква връзка и „Ако А, то В“ да е истинно, само защото А e неистинно или защото В е истинно. Например „Ако 2+2=4, то София е столица на България“ е истинно твърдение, но разбира се от първото не следва второто. По същия начин импликацията не изразява причина или друга, основана на закономерност връзка. Друг е въпросът, че като основание за изказването на твърдения с формата на импликация често имаме предвид такива връзки.

Примери за импликация:

pq p q
Ако Иван е бил там, то ръкавицата е негова. Иван е бил там. Ръкавицата е на Иван.
Ще свършиш зле, ако не ме послушаш. Няма да ме послушаш. Ще свършиш зле.
Само ако Иван спре да пие, Мария ще продължи да бъде с него. Мария ще продължи да бъде с Иван. Иван ще спре да пие.
За да има добра реколта това лятото, необходимо условие е през пролетта да има валежи. Ще има добра реколта това лятото. През пролетта ще има валежи.
Световен правов ред ще има само тогава, когато отделните държави се откажат от своя суверенитет. Ще има световен правов ред. Отделните държави ще се откажат от своя суверенитет.

Еквивалентност

Еквивалентност наричаме логическия съюз, отговарящ на израза „ако и само ако“ (както и на израза „тогава и само тогава“). Пример: „Мария ще прости на Иван, ако и само ако той ѝ се извини“. За да се различи от логическата еквивалентност (която означава взаимно логическо следване), този логически съюз се нарича още „материална еквивалентност“.

Очевидно в „q, ако и само ако p“ се съдържат две твърдения – „Ако p, то q“ и „Само ако p, то q“. Тъй като, както видяхме, „само ако“ изразява импликация, чиито консеквент е твърдението след „само ако“, „Само ако p, то q“ може да се перифразира с „Ако q, то p“. Получава се, че „ако и само ако“ изразява импликация в двете посоки – „Ако p, то q, и ако q, то p“. Последният израз се представя символно с „(pq)∧(qp)“. Това е един възможен начин за представяне на изречения с формата на еквивалентност. За по-кратко обаче се въвежда специален символ – „↔“: „p, ако и само ако q“ се представя символно с „pq2.

Както видяхме, еквивалентността между α и β съдържа в себе си както импликацията „Ако α, то β“, така и импликацията „Ако β, то α“. Първата импликация изключва възможността α да е истинно (И), а β – неистинно (Н), а втората изключва възможността α да е Н, а β – И. Получава се, че твърдение с формата на еквивалентност е истинно само когато двете свързвани твърдения имат еднаква истинностна стойност – или и двете са истинни, или и двете са неистинни. Така получаваме следната таблица за истинност за еквивалентността:

α β α ↔ β
И И И
И Н Н
Н И Н
Н Н И

Материалната еквивалентност между две твърдения е истинна, когато твърденията имат една и съща истинностна стойност (първия и последния ред на таблицата), и е неистинна, когато имат различни истинностни стойности (другите два реда).

Видяхме, че твърдение с формата „Ако p, то q“ може да се перифразира както с „p е достатъчно условие за q“, така и с „q е необходимо условие за p“. Тъй като в еквивалентността се съдържат две импликации, твърдение с формата „p, ако и само q“ може да се перифразира с „p е необходимо и достатъчно условие за q“ (както и с „q е необходимо и достатъчно условие за p“). Например твърдението „Мария ще прости на Иван, ако и само ако той ѝ се извини“ може да се перифразира с „Необходимо и достатъчно условие за това, Мария да прости на Иван, е той да ѝ се извини“.

„Само ако p, то q“ отговаря на „p е необходимо условие за q“. Последното изречение може да се перифразира и с „Ако p не е налице, то и q няма да е налице“. Получава се, че „само ако p, то q“ изразява същото като „Ако не-p, то не-q“. Тогава, като заместим твърдението „Само ако p, то q“, съдържащо се в една еквивалентност, с твърдението „Ако не-p, то не-q“, получаваме, че еквивалентност може да се изрази и така: „Ако p, то q, и ако не-p, то не-q.“ (Символно: „(pq)∧(¬p→¬q)“). Следните три твърдения казват едно и също:

Мария ще прости на Иван, ако и само ако той ѝ се извини.

Ако Иван се извини на Мария, тя ще му прости, но ако не ѝ се извини, няма да му прости.

Необходимо и достатъчно условие за това, Мария да прости на Иван, е той да ѝ се извини.

Строго погледнато еквивалентност се изразява с „ако и само ако“, „тогава и само тогава“ или някои от посочените по-горе изрази. Във всекидневния език обаче първото „ако“ в „ако и само ако“ и първото „тогава“ в „тогава и само тогава“ често се изпускат. Ако смятаме, че това, Иван да се извини на Мария, е не само необходимо, но и достатъчно условие за това, Мария да му прости, вероятно бихме се изразили с „Мария ще прости на Иван само ако той и се извини“, въпреки че строго погледнато по този начин казваме, че извинението на Иван е необходимо, но не непременно и достатъчно условие за извинението на Мария, т.е. буквално казваме, че ако Иван не се извини на Мария, тя няма да му прости, а в случай, че ѝ се извини, оставяме отворена възможността да не му прости въпреки извинението. Ако искаме да сме прецизни в изказа си, за изразяване на еквивалентност би трябвало да използваме „ако и само ако“ или „тогава и само тогава“, а не просто „само ако“, „само тогава“ или „само когато“. Със стремежа към прецизност се обяснява и фактът, че „ако и само ако“ и „тогава и само тогава“ се употребяват най-често в математиката.

Примери за (материална еквивалентност):

pq p q
Иван ще дойде, ако дойде Петър; и само тогава. Иван ще дойде. Петър ще дойде.
Задачата ще се счита за решена, ако и само ако са решени всичките ѝ подусловия. Задачата ще се счита за решена. Всички подусловия на задачата ще бъдат решени.
Лунно затъмнение има тогава и само тогава, когато Земята се намира между Луната и Слънцето. Има лунно затъмнение. Земята се намира между Луната и Слънцето.

Систематичен начин за символно представяне на изречения от естествения език

Когато едно съставно изречение от естествения език е по-сложно, препоръчително е символното му представяне да става стъпка по стъпка, като се движим в посока от цялото изречение към неговите части, т.е. в обратната посока на начина, по който цялото е изградено от частите си. Ще илюстрираме това, като представим символно следното сложно съставно твърдение:

Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще бъдат увеличени заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки.

Първо си задаваме въпроса каква е формата на твърдението като цяло, т.е. дали е „ако, то“-твърдение (импликация), „или“-твърдение (дизюнкция), „и“-твърдение (конюнкция) и т.н. Твърдението започва с „ако“, което показва, че в него участва импликация, но от това все още не следва, че тя е главният логически съюз. По принцип антецедентът на една импликация стои между „ако“ и „то“ (ако изобщо има „то“), а консеквентът е твърдението, което стои след „то“, но за него няма граматически маркер, който да показва къде свършва. За да е главен логически съюз, импликацията трябва да обхваща цялото изречение, което значи, че консеквентът трябва да започва от „то“-то и да свършва в края на изречението. Тук нещата стоят по този начин – консеквентът е твърдението „Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки“. Импликацията е главният логически съюз и твърдението като цяло е импликация. Щом е така, като първа стъпка от символното представяне пишем знакa на импликацията и от двете му страни, заградени в скоби, поставяме (съответно отляво и отдясно) нейния антецедент и нейния консеквент все още не в символен език:

(1) (Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат) → (Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки)

Слагаме скоби около двете твърдения, защото те самите вероятно ще се окажат съставни, а съставни символни изрази, които са части на други изрази, се заграждат в скоби (изключение правят единствено изразите с формата на отрицание).

Като следваща стъпка се съсредоточаваме, абстрахирайки се от всичко останало, към първото от двете твърдения, изразени все още на естествен език. Отново се питаме какво като цяло е твърдението „Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат“. Очевидно е конюнкция между едно просто твърдение – „Кризата ще продължи“ и отрицанието на друго просто твърдение – „Данъците ще се увеличат“. Представяме символно първото от тях с „p“ (или ако искаме с друга буква за твърдение), второто – например с „q“ и заместваме „Кризата ще продължи и данъците няма да се увеличат“ в (1) с „p∧¬q“:

(2) (p∧¬q) → (Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки)

Като следваща стъпка отново се питаме какво като цяло е участващото в (2) твърдение от естествения език „Или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки“. Отговорът е, че това е едно „или“-твърдение – дизюнкция между твърденията „Ще има актуализация на бюджета“ и „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки“. Първото от тях е просто. Представяме го символно с „r“ и заместваме цялото твърдение с дизюнкцията между r и „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки“, последното заградено в скоби:

(3) (p∧¬q) → (r ∨ (Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки))

Съдържащото се в (3) изречение от естествения език „Нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки“ е „нито-нито“-твърдение. На такива твърдения отговаря конюнкция между две отрицания. В случая първото от тях е отрицание на едно просто твърдениe – „Ще се увеличат заплатите“, а второто е отрицание на съставното твърдение „Ще има коледни и великденски надбавки“. Затова представяме символно простото твърдение с „s“, заграждаме второто в скоби, слагаме и пред двете отрицания и ги свързваме с конюнкция:

(4) (p∧¬q) → (r ∨ (¬s ∧ ¬(Ще има коледни и великденски надбавки)))

Твърдението „Ще има коледни и великденски надбавки“ очевидно е конюнкция между две прости твърдения – „Ще има коледни надбавки“ и „Ще има великденски надбавки“. Представяме ги символно с нови букви за твърдения, свързваме буквите в конюнкция и заместваме твърдението с нея:

(5) (p∧¬q) → (r ∨ (¬s ∧ ¬(tu)))

За по-лесно четене може да заменим някои от скобите с друг вид скоби (квадратни и къдрави). Като цяло за символното представяне на началното твърдение получаваме следното:

Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще бъдат увеличени заплатите, нито ще има коледни и великденски надбавки.

(p∧¬q) → {r ∨ [¬s ∧ ¬(tu)]}

pКризата ще продължи.
qДанъците ще се увеличат.
rЩе има актуализация на бюджета.
sЩе се увеличат заплатите.
tЩе има коледни надбавки.
uЩе има великденски надбавки.

Задачи:

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Представете символно всяко от следните твърдения. Предварително посочете с кои букви за твърдения (p, q, r, ...) сте представили символно простите твърдения.

1) Ако сме живи и здрави, следващата година пак ще се видим.

2)Ако вали дъжд или е студено, партито няма да е на двора.

3)В случай че световната рецесия продължи, ако не се намалят данъците, ще има стагнация и банкови фалити.

4)При условие че Иван е запознат с клаузите на договора и го подпише, ако в бъдеще не го изпълнява, или ще плати глоба и имота му ще бъде конфискуван, или ще влезе в затвора.

5)Иван ще дойде на партито само ако Мария не дойде.

6)Иван ще спре да ти се сърди тогава и само тогава, когато си вземеш думите назад и му се извиниш.

7)Ако нарушиш закона, ще бъдеш наказан, независимо дали си знаел, че го нарушаваш, или не.

8)Ако пазачът не е виновен, то или е произвел предупредителен изстрел, или не е застрелял крадеца.

9)Ако ключовете не са в джоба на панталона или в чантата ми, то или съм ги загубил, или съм ги забравил вкъщи.

10)Не е вярно, че Иван ще дойде на концерта, ако Ана или Мария дойдe.

11)Ще те заведа на кино или на ресторант, но не и на двете.

12)Има гъби само ако е топло и влажно.

13)Иван ще дойде на срещата, а ако Петър е казал на Мария, също и тя.

14)Ако Ана има нужда от помощ и Мария не ѝ помогне, то и Ана няма да помогне на Мария, ако тя има нужда от помощ.

15)Мария ще отиде в Созопол, ако също и Ана отиде, и обратно.

16)Иван ще дойде на партито, ако и само ако Мария не дойде.

17)Ако и брат ми, и сестра ми отидат на тържеството, тогава аз няма да отида, но ако само брат ми отиде, тогава и аз ще отида.

18)Ако пазачът е застрелял крадеца, то ако не е произвел предупредителен изстрел, пазачът е виновен.



1. Представя се още с „⊃“. 2. Друг начин за символно представяне е с „≡“ вместо с „↔“.