1.6 Логическо следване и логическа еквивалентност

Логическо следване

От твърдението А логически следва твърдението B, когато е (логически) невъзможно ако А е истинно, B да е неистинно. При това няма значение дали А и В са истинни, или не. Може и двете да са неистинни и въпреки това от А да следва В, поради това, че ако А беше истинно, B по необходимост щеше също да е истинно, както може и двете да са истинни и въпреки това от А да не следва В, поради това, че при истинност на А е възможно B да е неистинно (въпреки че фактически е истинно).

За да изразяваме това, че от едно или няколко твърдения логически следва някакво твърдение, ще използваме символа „⇒“ или черта. Например, за да изразим това, че от твърдението А логически следва твърдението B, ще пишем

AB или A
B

за да изразим това, че от твърденията А1, A2 и А3 логически следва твърдението В, ще пишем

А1
A2
А3
B

и т.н.

Между понятието за тавтология и понятието за логическо следване съществува следната връзка: (от гледна точка на пропозиционалната логика) от едно твърдение А логически следва едно твърдение B, ако и само ако твърдението „Ако А, то B“ е тавтология, накратко:

А ⇒ B, ако и само ако „А→В“ е тавтология.

Основанието за връзката е следното. От А логически следва B, когато е логически невъзможно А да е истинно, а B да е неистинно. Една импликация „Ако А, то В“ е неистинна точно когато А е истинно, а В е неистинно. Следователно логическата невъзможност А да е истинно, а В неистинно (т.е. това, от А да следва В) е същото нещо като логическата невъзможност твърдението „Ако А, то В“ да е неистинно. В областта на пропозиционалната логика обаче за едно твърдение е логически невъзможно да е неистинно, когато е тавтология.

Горната връзка ни дава следния метод за проверка на това, дали от някакво твърдение А логически следва (в рамките на пропозиционалната логика) някакво твърдение В. Образуваме импликацията между А и В („АВ“) и проверяваме дали е тавтология. Ако е тавтология, В ще следва от А; ако не е, няма да следва (поне от гледна точка на пропозиционалната логика). Като пример нека разгледаме следния извод:

(1) Или не е вярно, че предсказанието на оракула е вярно и е правилно изтълкувано, или ако утре има морска битка, персийците няма да победят гърците.
Ако утре има морска битка и персийците победят гърците, то или предсказанието на оракула не е вярно, или не е било правилно изтълкувано.

Искаме да разберем дали от горното твърдение (предпоставката) логически следва долното (заключението). За целта трябва да ги представим символно, да свържем получените формули в импликация и да проверим (с таблица за истинност, с истинностно-функционален анализ или по друг начин) дали импликацията е тавтология. Тъй като предпоставката и заключението са относително сложни, за да не сгрешим в символното им представяне, ще използваме въведения в 1.2 систематичен начин за символно представяне на твърдения от естествения език.

Предпоставката като цяло е едно „или“-твърдение (дизюнкция) между „Не е вярно, че предсказанието на оракула е вярно и е правилно изтълкувано“ и „Ако има морска битка, персийците няма да победят гърците“:

(Не е вярно, че предсказанието на оракула е вярно и е правилно изтълкувано) ∨ (Ако утре има морска битка, персийците няма да победят гърците)

Първото твърдение в дизюнкцията е отрицание на конюнкцията между простите твърдения „Предсказанието на оракула е вярно“ и „Предсказанието на оракула е правилно изтълкувано“. Като представим символно първото с „p“, а второто с „q“, получаваме следното:

¬(pq) ∨ (Ако утре има морска битка, персийците няма да победят гърците)

Второто твърдение на дизюнкцията е импликация с антецедент простото твърдение „Утре ще има морска битка“ и консеквент отрицанието на простото твърдение „Персийците ще победят гърците“. Представяйки символно първото просто твърдение с „r“, а второто с „s“, получаваме следното символно представяне на предпоставката в (1):

¬(pq) ∨ (r→¬s)

Заключението в (1) като цяло е импликация между „Утре ще има морска битка и персийците ще победят гърците“ и „Или предсказанието на оракула не е вярно, или не е било правилно изтълкувано“:

(Утре ще има морска битка и персийците ще победят гърците) → (Или предсказанието на оракула не е вярно, или не е било правилно изтълкувано)

Антецедентът на импликацията е конюнкция между простите твърдения „Утре ще има морска битка“ и „Персийците ще победят гърците“, които по-горе представихме съответно с „r“ и с „s“:

(rs) → (Или предсказанието на оракула не е вярно, или не е било правилно изтълкувано)

Консеквентът на импликацията е „или“-твърдение (дизюнкция) между отрицанието на простото твърдение „Предсказанието на оракула е вярно“ и отрицанието на простото твърдение „Предсказанието на оракула е правилно изтълкувано“. Първото от тези прости твърдения по-горе представихме символно с „p“, а второто – с „q“. Като резултат за заключението в (1) получаваме следния символен израз:

(rs) → (¬p∨¬q)

По този начин цялостното символното представяне на началния извод в (1) е следното:

(2) ¬(pq) ∨ (r→¬s)
(rs) → (¬p∨¬q)

(2) се нарича „схема за извод“. За да разберем дали тази схема за извод, а от там и конкретното умозаключение в (1), са логически валидни, трябва да свържем предпоставката на схемата в импликация със заключението ѝ и да проверим дали получената като резултат импликация е тавтология. Импликацията е следната:

[¬(pq)∨(r→¬s)] → [(rs)→(¬p∨¬q)]

Ще проверим дали е тавтология с истинностно-функционален анализ (алтернативно можем да използваме и таблица за истинност, но тя ще е със 16 реда):

[¬(pq)∨(r→¬s)]→[(rs)→(¬p∨¬q)]
r: И r: Н
[¬(pq)∨(И→¬s)]→[(И∧s)→(¬p∨¬q)] [¬(pq)∨(Н→¬s)]→[(Н∧s)→(¬p∨¬q)]
[¬(pq)∨¬s]→[s→(¬p∨¬q)] [¬(pq)∨И]→[Н→(¬p∨¬q)]
p: И p: Н И→И
[¬(И∧q)∨¬s]→[s→(Н∨¬q)] [¬(Н∧q)∨¬s]→[s→(И∨¬q)] И
q∨¬s]→[s→¬q)] [¬Н∨¬s]→[s→И]
s: И s: Н [И∨¬s]→И
q∨Н]→[И→¬q)] q∨И]→[Н→¬q)] И
¬q→¬q] И→И
И И

Импликацията е тавтология, което означава, че изводът е логически валиден – от първото твърдение в (1) логически следва второто.

Символното представяне на конкретния извод (1) доведе до схемата за извод (2), която изразява неговата логическа форма. Това, че схемата за извод e логически валидна, означава, че освен конкретният извод (1) и всеки друг извод, който има същата логическа форма, т.е. който се получава от (2), когато „p“, „q“, „r“ и „s“ се интерпретират с някакви конкретни твърдения, също ще бъде логически валиден.

Нека обобщим. Имаме следния метод за проверка дали от конкретно твърдение А логически следва конкретно твърдение B от гледна точка на пропозиционалната логика. Представяме символно А и В съответно с формулите α и β, като по този начин получаваме схемата за извод

α
β

От това, дали тази схема е логически валидна, зависи дали конкретният извод е логически валиден. За да разберем дали схемата е валидна, свързваме α в импликация с β и проверяваме (с истинностно-функционален анализ или таблица за истинност) дали получената формула „α→β“ е тавтология. Ако е тавтология, схемата за извод е логически валидна; ако не е тавтология, не е логически валидна (поне от гледна точка на пропозиционалната логика). Логическата валидност (съответно невалидност) на схемата за извод означава логическа валидност (невалидност) не само на конкретното умозаключение, но и на всяко друго умозаключение, което има формата на схемата за извод.

Но какво да правим, когато искаме да проверим логическата валидност на извод, който има повече от една предпоставки? Например искаме да проверим логическата валидност на някакво умозаключение

(3) A1
A2
A3
B

където A1, A2, A3 и В са някакви конкретни твърдения.

Когато предпоставките са повече от една, те могат да бъдат обединени чрез конюнкции в едно твърдение. Например (3) може да бъде изразено и така:

(4) A1A2A3
B

Причината е, че смисълът на конюнкцията е, че всички нейни членове са истинни, поради което (4), както (3), изразява това, че ако и трите твърдения А1, А2, и А3 са истинни, то с логическа необходимост е истинно и В. Следователно, когато искаме да проверим дали извод с повече от една предпоставки е логически валиден, можем да проверим дали импликацията между конюнкцията на предпоставките и заключението (в случая „(А1А2А3)→B“) е тавтология. В общия случай методът за проверка на логическата валидност на даден извод (в рамките на пропозиционалната логика) е следният. Искаме да проверим валидността на произволно умозаключение от естествения език с n на брой предпоставки:

(5) A1
A2
...
An
B

Първо представяме символно предпоставките и заключението, като по този начин получаваме определена схема за извод, изразяваща логическата форма на извода:

(6) α1
α2
...
αn
β

Тъй като логическата валидност на конкретния извод (5) зависи от логическата му форма, изразявана от схемата (6), ако (6) е логически валидна схема за извод, (5) ще е логически валиден извод, и ако (6) не е логически валидна схема, (5) няма да е логически валиден извод (поне от гледна точка на пропозиционалната логика). За да проверим дали (6) е логически валидна схема за извод, проверяваме дали формулата „(α1∧α2∧…∧αn)→β“ е тавтология. Ако е тавтология, схемата ще е логически валидна; ако не е тавтология, няма да е логически валидна.

По-горе многократно правих уговорката, че ако в резултат на използването на въведения метод се получи, че някакъв извод не е логически валиден, то това е „от гледна точка на пропозиционалната логика“. Причината е, че средствата за логически анализ на пропозиционалната логика са ограничени. Ако някакъв извод е логически валиден според нея, той със сигурност е такъв. Обратното обаче не е вярно – ако изводът е невалиден от нейна гледна точка, възможно е обективно да е валиден, но за да бъде показано това, да е нужен по-дълбок анализ от този на пропозиционалната логика. Например изводът

Сократ е мъдър човек.
Съществуват мъдри хора.

е логически валиден, но според пропозиционалната логика е невалиден, тъй като за нея заключението му е просто твърдение. Представен символно, изводът би изглеждал така:

pq
r
p – Сократ е мъдър
q – Сократ е човек
r – Съществуват мъдри хора

Тази схема за извод не е логически валидна (от гледна точка на пропозиционалната логика), тъй като между предпоставката и заключението няма връзка (прилагайки метода, ще видим, че „(pq)r“ не е тавтология). Логическата валидност на извода може да се покаже със средствата на предикатната логика, тъй като в нея може да анализира логическата структура на твърдения, които за пропозиционалната логика са прости.

Нека сега проверим валидността на следните четири, относително прости, умозаключения:

(7) Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван има температура.
Иван е болен от грип.
(8) Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван няма температура.
Иван не е болен от грип.
(9) Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван не болен от грип.
Иван няма температура.
(10) Ако Иван е болен от грип, той има температура.
Иван е болен от грип.
Иван има температура.

Първо ги представяме символно и получаваме следните четири схеми за извод („Иван е болен от грип“ е представено с „p“, a „Иван има температура“ – с „q“):

(7′) pq
q
p
(8′) pq
¬q
¬p
(9′) pq
¬p
¬q
(10′) pq
p
q

За да определим кои от тези схеми за извод са логически валидни, трябва да определим кои от следните формули са тавтологии: за (7)' – „[(pq)∧q]→p“; за (8)' – „[(pq)∧¬q]→¬p“; за (9)' – „[(pq)∧¬p]→¬q“; за (10)' – „[(pq)∧p]→q“. За определянето на вида на първите две формули ще използваме таблици за истинност, а за вида на вторите две – истинностно-функционален анализ.

p q pq (pq)∧q [(pq)∧q]→p
И И И И И
И Н Н Н И
Н И И И Н
Н Н И Н И

p q pq ¬q ¬p (pq)∧¬q [(pq)∧¬q]→¬p
И И И Н Н Н И
И Н Н И Н Н И
Н И И Н И Н И
Н Н И И И И И

Първата таблица показва, че „[(pq)∧¬q]→¬p“ не е тавтология, от което следва, че схемата за извод (7)' както и конкретното умозаключение (7) не са логически валидни. Невалидността на тази схема за извод означава, че от консеквента на една истинна импликация не можем да изведем нейния антецедент. От това, че Иван има температура, не следва, че е болен от грип – може да има температура, защото е болен от нещо друго. Втората таблица показва, че „[(pq)∧¬q]→¬p“ е тавтология, от което следва, че схемата за извод (8)', а от там и конкретното умозаключение (8), са логически валидни. Валидността на тази схема за извод означава, че от отрицанието на консеквента на една истинна импликация може да бъде извеждано отрицанието на нейния антецедент. Ако Иван няма температура, той не може да е болен от грип, защото ако беше, истинността на импликацията гарантира, че щеше да има температура, от което би се получило, че едновременно има и няма температура. Схемата за извод (8)′ е известна с името „модус толенс“ (от латински – „отрицателен модус“).

По принцип, когато проверяваме валидността на дадена схема за извод чрез таблица за истинност, бихме могли да си спестим някои от колоните. За да е валидна една схема за извод, трябва да е невъзможно, когато всички предпоставки са истинни, заключението да е неистинно. Бихме могли да проверим дали е така с таблица за истинност, без да конструираме импликацията между конюнкцията на предпоставките и заключението, по следния начин. Например предпоставките на схемата (7), чиято валидност проверихме с първата таблица за истинност, се намират във втората и третата колона на таблицата, а заключението ѝ – в първата. За да проверим дали е възможно, когато предпоставките са истинни, заключението да е неистинно, е достатъчно да проверим дали има такива редове, в които под втората и третата колона има стойност И, а под първата – стойност Н. Ако има, значи е възможно предпоставките да са истинни, а заключението да е неистинно, което значи, че схемата не е логически валидна; ако няма, това няма да е възможно, и значи схемата ще е валидна. В дадения случай и двете предпоставки имат стойност И в първия и в третия ред. В първия ред заключението също има стойност И, но в третия има стойност Н, което показва, че схемата за извод не е валидна. Този подход ни спестява последните две колони от таблицата. Що се отнася до схемата за извод (8), на която отговаря втората таблица, предпоставките ѝ се намират в третата и четвъртата колона, а заключението й – в петата. Тук отново можем да си спестим последните две колони, като проверим дали има ред в таблицата, в който двете предпоставки има стойност И, а заключението – стойност Н. Единственият случай, в който и двете предпоставки имат стойност И, е четвъртия ред. В него заключението също има стойност И, което показва, че не е възможно предпоставките да са истинни, а заключението да е неистинно, и значи схемата е валидна.

Да проверим сега логическата валидност на схемите за извод (9)' и (10)' с истинностно-функционален анализ вместо с таблици за истинност:

[(pq)∧¬p] → ¬q
p: И p: Н
[(И→q)∧Н] → ¬q [(Н→q)∧И] → ¬q
Н → ¬q [И∧И] → ¬q
И И → ¬q
¬q
q: И
Н

[(pq)∧p] → q
p: И p: Н
[(И→q)∧И] → q [(Н→q)∧Н] → q
qq Н → q
И И

Първият анализ показва, че „[(pq)∧¬p]→¬q“ не е тавтология, което означава, че схемата за извод (9)', както и конкретният извод (9), не са логически валидни. По принцип от отрицанието на антецедента на една истинна импликация не следва отрицанието на нейния консеквент. В частност от това, че Иван не е болен от грип, не следва, че няма температура – температурата му може да е причинена от друго заболяване.

Вторият истинностно-функционален анализ показва, че „[(pq)∧p]→q“ е тавтология, което означава, че схемата за извод (10)', както и конкретният извод (10), са логически валидни. От истинността на антецедента на една истинна импликация следва истинност и на нейния консеквент. Това е най-известната схема за извод в пропозиционалната логика. Нейното име е „модус поненс“ (от латински – „утвърдителен модус“).

Логическа еквивалентност

Две твърдения са логически еквивалентни, когато следват логически едно от друго. Такива са например следните две твърдения:

(11) Не в вярно, че Иван е знаел, че Мария има нужда от помощ, и е отказал да й помогне.

(12) Или Иван не е знаел, че Мария има нужда от помощ, или не е отказал да ѝ помогне.

Чрез въведения метод можем да се убедим, че твърденията наистина следват едно от друго. Ако представим символно простите твърдения „Иван е знаел, че Мария има нужда от помощ“ и „Иван е отказал да помогне на Мария“ съответно с „p“ и „q“, (11) и (12) се представят символно със следните формули:

¬(pq)

¬p∨¬q

Двата истинностно-функционални анализа отдолу показват, че от първата формула следва втората и че от втората следва първата, т.е. че двата израза са логически еквивалентни:

¬(pq) → (¬p∨¬q) p∨¬q) → ¬(pq)
p: И p: Н p: И p: Н
¬(И∧q) → (Н∨¬q) ¬(Н∧q) → (И∨¬q) (Н∨¬q) → ¬(И∧q) (И∨¬q) → ¬(Н∧q)
¬q → ¬q ¬Н → И ¬q → ¬q И → И
И И И И

Ще използваме символа „⇔“, за да изразяваме логическа еквивалентност. В конкретния случай имаме

„¬(pq)“„(¬p∨¬q)“

Тази схема-еквивалентност сe нарича „закон на Де Морган“.

Съществува и по-кратък начин да проверяваме дали два израза са логически еквивалентни. Вместо да проверяваме дали от α следва β и от β следва α, можем да проверим само дали материалната еквивалентност между изразите, т.е. „α↔β“, е тавтология. Ако е тавтология, α и β са логически еквивалентни, ако не е, не са (поне от гледна точка на пропозиционалната логика). Това е така поради следното. По-рано (1.2) видяхме, че „α↔β“ може да се разглежда като съкращение на „(α→β)∧(β→α)“. Затова, ако „α↔β“ е тавтология, няма да е възможно „α→β“ и „β→α“ да имат стойност Н (в противен случай „(α→β)∧(β→α)“ понякога ще става Н и значи няма да е тавтология). Но щом не е възможно „α→β“ и „β→α“ да са Н, те са тавтологии, и значи от α следва β и от β следва α, с други думи – α и β са логически еквивалентни. Получихме че, ако „α↔β“ е тавтология, α и β са логически еквивалентни. Обратно, ако α и β са логически еквивалентни, те ще следват едно от друго и значи „α→β“ и „β→α“ ще са тавтологии, т.е. няма да е възможно да са неистинни. Но тогава и конюнкцията им няма да може да е Н, т.е. „(α→β)∧(β→α)“ ще е тавтология, а от там и „α↔β“ също. Показахме, че α и β са логически еквивалентни, ако и само ако „α↔β“ е тавтология.

И така, разполагаме със следния метод за проверка на това, дали две твърдения A и B са логически еквивалентни. Представяме ги символно чрез някакви формули α и β, след което проверяваме дали материалната еквивалентност между тях (формулата „α↔β“) е тавтология. Ако е тавтология, твърденията A и B (а също и формулите α и β) са логически еквивалентни; ако не е тавтология, не са логически еквивалентни (поне от гледна точка на пропозиционалната логика).

По-горе видяхме, че твърденията (11) и (12), които представихме символно с формулите „¬(pq)“ и „¬p∨¬q“, са логически еквивалентни чрез два истинностно-функционални анализа, които показаха, че твърденията (и формулите) взаимно следват едно от друго. От казаното в горните два параграфа вече знаем, че можем да използваме само един истинностно-функционален анализ, като проверим дали „¬(pq)↔(¬p∨¬q)“ е тавтология:

¬(pq) ↔ (¬p∨¬q)
p: И p: Н
¬(И∧q) ↔ (Н∨¬q) ¬(Н∧q) ↔ (И∨¬q)
¬q ↔ ¬q ¬Н ↔ И
И И

Ако вместо истинностно-функционален анализ при проверката използваме таблица за истинност, можем да си спестим последната колона, като, вместо да проверяваме дали „α↔β“ е тавтология, проверим дали α и β имат еднакви таблици за истинност. „α↔β“ има стойност И, когато α и β имат еднаква истинностна стойност. Затова „α↔β“ ще е тавтология (т.е. ще има само стойност И), когато в колоните под α и β има едни и същи истинностни стойности, т.е. когато двете формули имат еднакви таблици за истинност. Логическата еквивалентност на „¬(pq)“ и „(¬p∨¬q)“ се вижда също чрез следната таблица за истинност:

p q pq ¬(pq) ¬p ¬q ¬p∨¬q ¬(pq)↔(¬p∨¬q)
И И И Н Н Н Н И
И Н Н И Н И И И
Н И Н И И Н И И
Н Н Н И И И И И

Таблицата показва, че „¬(pq)↔(¬p∨¬q)“ е тавтология. Последната колона обаче може да се изпусне, защото това, че „¬(pq)“ и „(¬p∨¬q)“ са логически еквивалентни, се вижда от еднаквите им таблици за истинност (истинностните стойности в колоните под тях). Изобщо в пропозиционалната логика важи принципът, че две формули са логически еквивалентни, когато имат еднакви таблици за истинност .

Когато две твърдения са логически еквивалентни, те могат да се разглеждат като синонимни. Причината е, че когато от твърдението А логически следва твърдението В, значението на B по някакъв начин се съдържа в това на А. Следователно, ако твърденията са логически еквивалентни, значението на едното ще се съдържа в значението на другото, и обратно, и значи в значението на всяко от тях няма да се съдържа нищо различно от това, което се съдържа в значението на другото.

Друг начин да се види това е чрез понятието условия за истинност. Условията за истинност на едно твърдение се определят от това, кога би било истинно и кога не. Ако някой знае кога едно изречение би било истинно и кога не, с това показва, че го разбира, т.е. че знае значението му. Например, ако искаме да разберем дали един чужденец знае значението на българското изречение „Навън е студено“, можем да го питаме дали е истинно в най-различни ситуации. Ако отговаря утвърдително, когато навън е студено, и отрицателно, когато не е, с това той едновременно показва, че знае условията му за истинност и че го разбира; обратно, ако понякога не отговаря правилно, това ще е знак, че не знае условията му за истинност и ще ни накара да предположим, че не разбира добре значението му. В пропозиционалната логика условията за истинност на едно изречение се дават от неговата таблица за истинност, а както видяхме логически еквивалентните изречения имат еднакви таблици за истинност и значи и едно и също значение.

Щом логически еквивалентните изрази могат да се разглеждат като синонимни, те са взаимнозаменяеми, защото ако заменим част от израз с друг израз, който има същото значение, можем да очакваме, че значението на целия израз няма да се промени. Това важи с пълна сила за символния език на логиката. Ако α и β са логически еквивалентни формули и α е част от някаква по-сложна формула γ, можем да заменим α с β, без смисълът на γ да се промени, а това разбира се означава, че няма да се промени и истинностната ѝ стойност. Това, че логически еквивалентните изрази могат да бъдат заменяни взаимно, когато са части на други изрази, без истинностната стойност на изразите, от които са част, да се промени, е важен принцип в логиката. Ще го наричаме принцип за заменимост на еквивалентните. Той дава възможност от произволни формули да се извеждат нови формули посредством замяната на техни подформули с логически еквивалентни формули. Например въз основа на установената по-горе логическа еквивалентност между „¬(pq)“ и „(¬p∨¬q)“ бихме могли да заключим, че от „¬[(¬р∨¬q)∧¬r]“ логически следва „¬[¬(рq)∧¬r]“, тъй като вторият израз е получен от първия чрез замяна на „¬p∨¬q“ с „¬(pq)“. Изразен формално, принципът за заменимост на еквивалентните е следният:

Ако α и β са логически еквивалентни формули и α е подформула на γ, то ако заместим в γ α с β, полученият израз γ' ще е логически еквивалентен на γ.

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Определете дали следните схеми за извод са валидни:

1) pq
q
p

2) pq
¬q → ¬p

3) pq
qr
pr

4) p ∨ (qr)
(pq) ↔ (pr)

5) pq
¬p
¬q

6) p ∨ ¬q
¬q ↔ ¬p
p → ¬q

7) p → (qr)
(pq) → (pr)

8) p → (qr)
(pq) ↔ (pr)

(2) Определете дали от a) логически следва b):

1) a) Ако Иван не е извършил обира, то го е извършил Павел, а Стоян му е помагал.
b) Или не е вярно, че нито Иван, нито Павел са извършили обира, или Стоян не е помагал на Павел.

2) a) Компанията е виновна, ако и само ако софтуерът е неин и е бил инсталиран преди Януари.
b) Ако софтуерът е на компанията, тогава той е бил инсталиран преди Януари и компанията е виновна. Ако софтуерът не е на компанията, тогава той не е бил инсталиран преди Януари и компанията не е виновна.

3) a) Корабите са минали или през Южния, или през Северния проток. Ако времето е било хубаво, са минали през Южния проток и не са били нападнати от пирати. Ако са минали през Северния проток, със сигурност са били нападнати от пирати.
b) Ако корабите не са били нападнати от пирати, времето е било хубаво.

4) a) Ако довечера има вятър, то ако залезът е червен, утре морето ще е бурно.
b) Или ако залезът е червен, утре морето ще е бурно, или ако довечера има вятър, утре морето ще е бурно.

5) a) Ако Иван е с брада, или няма да го позная, или ако го позная, няма да го поздравя.
b) Или ако поздравя Иван, ще съм го познал, или ако не го поздравя, той ще е с брада.

6) a) Ако четеш морал на другите и си убеден, че си морален, ти не си морален. Ако си морален, ти не четеш морал на другите и не си убеден, че си морален.
b) Ако не си убеден, че си морален, ти не си морален, ако и само ако четеш морал на другите.

(3) Докажете следните логически еквивалентности:

1) „¬¬рр

2)pq „¬q→¬p

3) „¬(рq)“ „¬p∨¬q

4)рq „(pq)∨(¬p∧¬q)“

5)р∨(qr)“ „(рq)∧(рr)“

6)pq „¬(p∧¬q)“

7) „¬(рq)“ „¬p∧¬q

8) „[(pq)→p]“ p

9) „¬(рq)“ р↔¬q

10)р∧(qr)“ „(рq)∨(рr)“

(4) Определете дали a) и b) са логически еквивалентни:

1) a) Не е вярно, че ако Мария не се обади на Петър, той ще й се обади.
b) Не е вярно, че ако Петър не се обади на Мария, тя ще му се обади.

2) a) Ако е вярно, че ако през нощта е идвал вълк, кучетата са лаели, то през нощта не е идвал вълк.
b) През нощта нито е идвал вълк, нито кучетата са лаели.

3) a) Ако залезът е червен, утре морето ще е бурно, или ако довечера има вятър, утре морето ще е бурно.
b) Ако довечера има вятър, то ако залезът е червен, утре морето ще е бурно.

4) a) Ако Иван е виновен, тогава Петър е невинен, а Стоян е излъгал.
b) Ако Стоян не е излъгал, то Иван не е виновен, а ако Иван е виновен, тогава Петър е невинен.

5) a) Кувейт или Саудитска Арабия ще намалят цените на петрола, не обаче и двете заедно.
b) Кувейт ще намали цените на петрола, ако и само ако Саудитска Арабия не ги намали.

6) a) Ако пазачът е застрелял крадеца, то ако го е застрелял без да го предупреди, пазачът е виновен.
b) Пазачът или е виновен, или е предупредил крадеца, или не го е застрелял.

7) a) Ако Иван е взел химикалката на Мария без да й каже, тогава той я е откраднал.
b) Ако Иван не е откраднал химикалката на Мария, то или не я е взел, или й е казал, че я е взел.

8) a) Ако се пресуши блатото и се построи път, след една година благосъстоянието на хората ще се е подобрило и жителите в селището ще са повече.
b) Ако се пресуши блатото или се построи път, след една година жителите в селището ще са повече. Ако след една година благосъстоянието на хората не се е подобрило, то нито ще е построен път, нито блатото ще е пресушено.

9) a) Нито някога съм ти казвал такова нещо, нито някога съм си го помислял, нито някога ще си помисля такова нещо, камо ли пък да ти го кажа.
b) Нито ако никога не съм ти казвал такова нещо, някога ще ти го кажа, нито ако никога не съм си помислял такова нещо, някога ще си го помисля.