2. Традиционна логика

Като съдържание традиционната логика е създадена почти изцяло от Аристотел. Тя е единствената логика, с която западният свят разполага, от Средновековието чак до края на 19-ти и началото на 20-ти век, когато възниква съвременната символна логика. (През Античността освен логиката на Аристотел е съществувала и логиката на стоиците, в която е имало елементи на пропозиционална логика, но тази логическа традиция е била прекъсната.) Аристотеловата логика е доразвита и допълнена (но по-скоро в детайлите, отколкото по същество) през Средновековието и през Новото време. Освен това след 17-ти век тя се психологизира и вместо за „изречения“ (или „твърдения“) започва да се говори за „съждения“, вместо за „изводи“ – за „умозаключения“, вместо за „изрази“ (или „термини“) – за „понятия“ и т.н. Това психологизиране обаче е външно и не засяга съдържанието ѝ по същество. Психологизирана или не, от гледна точка на средствата за логически анализ почти всичко в традиционната логика е налице вече при Аристотел. Самият Аристотел не подхожда към логическата проблематика психологически, а с акцент върху езика и отношението на езика към действителността – нещо, което е характерно (в още по-голяма степен) и за съвременната логика. Затова, абстрахирайки се от това психологизиране, при изложението на основното съдържание на традиционната логика вместо за „понятия“, „съждения“, „умозаключения“ и т.н., ще говорим съответно за „термини“, „твърдения“, „изводи“ и т.н. От гледна точка на съвременната логика традиционната логика е фрагмент на предикатната логика и има по-скоро историческо значение.

2.1 Категорични твърдения

Субект, предикат, обем на термините

Традиционната логика се занимава единствено с твърдения, които имат субект-предикатна форма. Това, грубо казано, са твърдения, в които се утвърждава или отрича нещо за нещо. Такива са например следните твърдения:

(1) Тигрите са бозайници.
Сократ не е алчен.
Някои черни котки драскат.

(Твърдения, които нямат субект-предикатна форма, са например „От всяко число има по-голямо число“ и „Ако днес е вторник, то утре е сряда“.) Изразът (терминът), който отговаря на това, за което се утвърждава или отрича нещо в тези твърдения, се нарича „субект“, а този, който отговаря на това, което се утвърждава или отрича, се нарича „предикат“. В горните примери субектите са съответно „тигър“, „Сократ“ и „черна котка“, а предикатите – съответно „бозайник“, „алчен“ и „драска“.

Субект-предикатните твърдения се наричат „категорични твърдения“. Субектът и предикатът на едно категорично твърдение се наричат „термини“ и се мислят като думи или изрази, под които попадат или не попадат определени неща. Например под термина „черна котка“ попада всяка конкретна черна котка и не попада нищо друго. Термините могат да бъдат както собствени имена и други обозначаващи изрази, като „Сократ“ или „откривателят на гравитацията“ (под първия попада само човекът Сократ, а под втория – само човекът Исак Нютон), така и съществителни имена, прилагателни имена и глаголи, а също и съответстващите им по-сложни, съставни фрази – съществителни, прилагателни и глаголни. Така например сред субектите и предикатите в (1) има съществителни имена („тигър“ и „бозайник“), съществителна фраза („черна котка“), собствено име („Сократ“), прилагателно име („алчен“) и глагол („драска“). Освен това термините могат да бъдат както прости изрази (като „тигър“ или „Сократ“), така и много сложни изрази (като „приятел на жената на работодателя на Иван“).

Важно понятие, свързано с термините, е това за техния обем. Обемът на един термин е множеството от нещата, които попадат под него. Например обемът на термина „човек“ е множеството на хората; обемът на „драска“ е множеството на всички същества, които драскат; обемът на „Сократ“ е множеството, чиито единствен елемент е Сократ; обемът на термина „число, по-голямо от всяко число“, под който не попада нищо, е празното множество.

Класификация на категоричните твърдения

Основната класификация на категоричните твърдения се основава върху делението им по количество и по качество. Нейн автор е Аристотел.

По качество категоричните твърдения се делят на утвърдителни и отрицателни. Утвърдителни са тези, в които предикатът се утвърждава за субекта, а отрицателни – тези, в които се отрича. Например „Тигрите са бозайници“ е утвърдително, а „Сократ не е алчен“ – отрицателно твърдение.

По количество категоричните твърдения се делят на общи и частни. Общи са тези, в които предикатът се утвърждава или отрича за целия обем на субекта. Съответно частни са тези, в които предикатът се утвърждава или отрича само за част от обема на субекта. Например в твърдението „Всички тигри са бозайници“ предикатът („бозайник“) се утвърждава за целия обем на субекта („тигър“) – за всички неща, които попадат под „тигър“, се утвърждава, че са бозайници, поради което твърдението е общо (и едновременно утвърдително). Напротив, в твърдението „Някои черни котки драскат“ предикатът („драска“) се утвърждава само за част от обема на субекта („черна котка“) – само за част от нещата, които попадат под „черна котка“ се утвърждава, че драскат, поради което твърдението е частно (и едновременно утвърдително).

Като обединим делението на твърденията по количество и качество в обща класификация, получаваме, че съществуват четири възможни типа категорични твърдения: общо-утвърдителни (например „Всички хора са благородни“), общо-отрицателни („Нито един човек не е благороден“), частно-утвърдителни („Някои хора са благородни“) и частно-отрицателни („Някои хора не са благородни“). За символното представяне на общо-утвърдителните твърдения в традиционната логика е прието да използва символът „a“, за общо-отрицателните – „е“, за частно-утвърдителните – „i“ и за частно-отрицателните – „o“. Например, ако представим символно термина „човек“ със „S“, а термина „благороден“ – с „Р“, „Всички хора са благородни“ се представя символно с „SaP“, „Нито един човек не е благороден“ – с „SeP“, „Някои хора са благородни“ – с „SiP“ и „Някои хора не са благородни“ – с „SoP“.

Макар в първия момент да изглежда контра-интуитивно, единичните твърдения, т.е. тези, в които субектът е собствено име или друг обозначаващ израз (като например „Сократ е благороден“), се класифицират като общи, а не като частни в тази класификация. Това е така, защото обемът на едно собствено име е множество с един единствен елемент и следователно, като се утвърждава или отрича за Сократ, предикатът в твърдения като „Сократ е благороден“ или „Сократ не е политик“ се утвърждава или отрича за целия обем на субекта, а не за част от него, което ги прави общи.

Долната таблица обобщава класификацията на категоричните твърдения по количество и качество:

Вид Стандартна форма Пример Символно представяне
общо-утвърдително Всяко S e P. Всеки човек е благороден. SaP
общо-отрицателно Нито едно S не е P. Нито един човек не е благороден. SeP
частно-утвърдително Някои S са P. Някои хора са благородни. SiP
частно-отрицателно Някои S не са P. Някои хора не са благородни. SoP

Понякога за по-кратко вместо за „общо-утвърдителни“, „общо-отрицателни“, „частно-утвърдителни“ или „частно-отрицателни“ ще говорим съответно за „А“, „Е“, „I“ или „O-твърдения“.

Стандартните форми на четирите вида категорични твърдения са „Всяко S е Р“ (или „Всички S са Р“), „Нито едно S не е Р“, „Някои S са Р“ и „Някои S не са Р“. Това обаче съвсем не е единствения начин, по който те биват изразявани. Така например „Котките са бозайници“ е същото твърдение като „Всички котки са бозайници“, но не е в стандартна форма. Същото важи и за още по-съкратената форма – „Котката е бозайник“. Други начини да се изкаже същото твърдение са например „Само бозайниците са котки“, „Нищо не е котка, освен ако не е бозайник“, „Ако нещо е котка, то е бозайник“ и др. Съответно „Нито една котка не е обича да се мокри“, освен в тази стандартна форма, може да се срещне и като „Котките не обичат да се мокрят“, „Ако нещо е котка, то не обича да се мокри“, „Нищо, което е котка, не обича да се мокри“ и др. Същото важи и за двете частни твърдения – освен в стандартна форма, те биват изразявани по много други начини. Затова, за до определим дали едно твърдение е категорично и какъв е видът му, е добре да се опитаме да го перифразираме в някоя от четирите стандартни форми, разчитайки на езиковата си интуиция. Ако успеем, значи е категорично и едновременно с това сме определили вида му.

Тъй като стандартните форми на двата вида частни твърдения („Някои S са Р“ и „Някои S не са Р“) са в множествено число, интуитивно това което изразяват би могло да се интерпретира, че няколко (поне две) неща, които са S, са Р (не са Р). Изрично обаче ще се разберем да не ги интерпретираме по този начин. Това което винаги ще имаме предвид с тях е, че поне едно S е P (за I-твърдението) и че поне едно S не е P (за О-твърдението). За да е истинно едно твърдение с формата „Някои S са P“, е достатъчно само едно S, да е Р (съответно да не е Р). Например твърдението „Някои хора са благородни“ ще е истинно и когато съществува само един човек, който е благороден, а всички останали не са.

Логически квадрат

Това, дали едно категорично твърдение е истинно, или не, зависи от отношението между обемите на субекта и на предиката му. Лесно се вижда, че твърдение с формата „Всяко S е Р“ (SaP) е истинно, ако и само ако обемът на S (множеството от нещата, които са S) е подмножество на обема на Р (множеството от нещата, които са P). При това не е нужно обемът на S да са строго1 подмножество на обема на P, защото двата обема могат да съвпадат. Например „Всички хора са разумни“ е истинно, ако и само ако множеството на хората е подмножество на множеството на разумните същества, като в зависимост от това, дали има, или не, други разумни същества освен хората, двете множествa може и да съвпадат.

Следната диаграма показва възможните отношения между обемите на два произволни термина S и P:2

1) отговаря на случая, когато всички S са Р, но някой Р не са S; 2) – на случая, когато всички S са P и всички Р са S; 3) – на случая, когато има неща, които са едновременно S и Р, и неща, които са S, но не са Р, а също и такива, които са Р, но не са S; 4) отговаря на случая, когато обемите на S и Р нямат общи елементи; и накрая 5) отговаря на случая, когато всички Р са S, но някои S не са Р.

Очевидно твърдение с формата „Всяко S е Р“ (А-твърдението) е истинно в случаи 1) и 2) и е неистинно в останалите три възможни случая – във всеки от тях има такива S, които не са Р. От друга страна твърдение с формата „Някои S не са Р“ (О-твърдението) е истинно в случаи 3), 4) и 5), защото тогава има някакви S, които не са P, и е неистинно в останалите два случая. Получава се, че А-твърдението е истинно, когато О-твърдението е неистинно, и е неистинно, когато O-твърдението е истинно. С други думи общо-утвърдителното и частно отрицателното твърдение (с един и същи субект и предикат) са точни отрицания едно на друго. Това може да се изрази със следните две логически еквивалентности (първата ни казва, че А-твърдението е отрицание на О-твърдението, а втората, че О-твърдението е отрицание на А-твърдението):

SaP“ ⇔ „¬SoP и „¬SaP“ ⇔ „SoP

Все едно е дали ще кажем „Всички хора са благородни“ или „Не е вярно, че някой хора не са благородни“, както е все едно дали ще кажем „Не е вярно, че всички хора са благородни“, или ще кажем „Някои хора не са благородни“.

Диаграмата също така показва, че E-твърдението („Нито едно S не е P“) е истинно в случай 4) и е неистинно във всички останали възможни случаи, докато I-твърдението („Някои S са Р“) е неистинно само в случай 4) и е истинно във всички останали възможни случаи, т.е. Е и I-твърденията също са точни отрицания едно на друго:

SeP“ ⇔ „¬SiP и „¬SeP“ ⇔ „SiP

Все едно е дали ще кажем „Нито един човек не е благороден“, или ще кажем „Не е вярно, че някои хора са благородни“, както е все едно дали ще кажем „Не е вярно, че нито един човек не е благороден“, или ще кажем „Някои хора са благородни“.

Така че налице е определено отношение по истинност между А и 0-твърденията, от една страна, и Е и I-твърденията, от друга (при условие, че субектът и предикатът в тях са едни и същи). Отношението е, че твърденията в двете двойки имат винаги различна истинностна стойност, т.е. едното е точно отрицание на другото. С цел онагледяване на тези и други отношения по истинност между видовете категорични твърдения през Средновековието е създадена диаграмата на така наречения „логически квадрат“. Това е квадрат, на четирите върха на който по определен начин са разположени четирите категорични твърдения:

Този определен начин е следният: общите твърдения са отгоре, частните – отдолу; утвърдителните са отляво, отрицателните – отдясно. Освен това са начертани диагоналите на квадрата, като по този начин между всеки две твърдения има линия, която отговаря на отношението по истинност между тях.

По-горе обсъдихме отношението, отговарящо на двата диагонала: това е отношението на противоречивост или на точно отрицание. То е най-определеното и ясно от всички отношения в логическия квадрат – общо-утвърдителното (А) твърдение и частно-отрицателното (О) твърдение, от една страна, и общо-отрицателното (Е) твърдение и частно-утвърдителното (I) твърдение, от друга, са като скачено съдове – каквато и истинностна стойност да има някое от четирите твърдения, това по диагонала има винаги обратната истинностна стойност.

Да разгледаме сега отношението между двете общи твърдения – А и Е, на което отговаря горната страна на квадрата. Ясно е, че ако „Всяко S е P“ е истинно, то „Нито едно S не е P“ не може да е истинно, и обратно – ако нито едно S не е P, не може всяко S да е P. Следователно, ако някое от общите твърдения е истинно, другото общо задължително е неистинно. С други думи от истинността на едното общо твърдение (утвърдителното или отрицателното) може логически да се заключи за неистинността на другото. Не така обаче стоят нещата в посоката от неистинност към истинност. Ако „Всяко S е P“ е неистинно, е възможно нито едно S да не е P (и тогава „Нито едно S не е P“ ще е истинно), но също така е възможно някои S да са P, а други да не са P (и тогава „Нито едно S не е P“ ще е неистинно). Например, ако не е вярно, че всички хора са благородни (ако „Всички хора са благородни“ е неистинно), е логически възможно някой хора да са благородни, а други – да не са (и тогава „Нито един човек не е благороден“ ще е неистинно), но също е възможно да няма благородни хора (и тогава „Нито един човек не е благороден“ ще е истинно). Следователно, ако А-твърдението е неистинно, не може да се каже само на логически основания каква е истинностна стойност на Е-твърдението – то може както да е истинно, така и да е неистинно. Ще изразяваме накратко това положение на нещата, като казваме, че истинностната стойност на E-твърдението е неопределена (логически).

По аналогичен начин се вижда, че нещата в посоката от общо-отрицателното към общо-утвърдителното твърдение стоят по същия начин: ако Е-твърдението е неистинно, истинностната стойност на А-твърдението е неопределена. Ако не е вярно, че нито един човек не е благороден (ако „Нито един човек не е благороден“ е неистинно), е възможно както всички хора да се благородни, така и някои хора да са благородни, а други да не се (в първия случай „Всички хора са благородни“ ще е истинно, а във втория ще е неистинно).

Отношението между двете общи твърдения (на което отговаря горната страна на логическия квадрат) се нарича отношение на „противност“ (А и Е-твърденията са противни едно на друго). Обобщено, то се състои в следното: от истинността на някое от двете общи твърдения можем да заключим за неистинността на другото, но от неистинността му, не можем да заключим нищо за истинностната стойност на другото – тя остава неопределена .

В традиционната логика се приема, че частните твърдения логически следват от съответните им общи, т.е. частно-утвърдителното следва от общо-утвърдителното и частно-отрицателното следва от общо-отрицателното. Ако е истинно, че всички хора са благородни, ще е истинно и че някои хора са благородни (т.е. тогава поне един човек ще е благороден), и ако е истинно, че нито един човек не е благороден, ще е истинно и че някой хора не са благородни (поне един човек няма да е благороден). Очевидното основание за това е, че щом нещо е изпълнено за всички елементи на едно множество (в примера множеството на хората), то ще е изпълнено и за част от елементите му. (За това основание обаче съществено изискване е въпросното множество да не е празно, защото ако е празно, общото твърдение ще е истинно3, а частното ще е неистинно. В традиционната логика обаче мълчаливо се предпоставя, че когато изказваме някакво общо твърдение – било то утвърдително или отрицателно – обемът на субекта му не е празно множество.) Така че в традиционната логика частното твърдение следва логически от общото:

SaP“ ⇒ „SiP
SeP“ ⇒ „SoP

Това отношение се нарича „отношение на подчиненост“ и отговаря на лявата и дясната страна на квадрата в посока отгоре надолу. То е единственото отношение в логическия квадрат, което е отношение на логическо следване, т.е. при което от истинността на едно твърдение следва истинността на друго. (При останалите отношения е налице заключаване от истинност за неистинност, от неистинност за истинност или от неистинност за неистинност, не и от истинност за истинност.)

От разгледаните дотук три отношения в логическия квадрат (на противоречивост, на противност и на подчиненост) могат да бъдат изведени всички останали отношения в него.

Например нека видим каква ще е истинностната стойност на останалите три твърдения, ако частно-отрицателното (О) е истинно. Тогава (по диагонала) от отношението на противоречивост следва, че А-твърдението ще е неистинно. Но от отношението на противност между двете общи твърдения знаем, че ако едното (в случая A-твърдението) е неистинно, истинностната стойност на другото (в случая на Е-твърдението) е неопределена (може да е както истинно, така и неистинно). Но тогава ще е неопределена и истинностната стойност на намиращото се по диагонала негово отрицание – О-твърдението. Това е така, защото двете са като скачени съдове, поради което ако истинностната стойност на едното е определена, ще е определена и на другото (ще бъде обратната). Така че, взимайки предвид отношенията на противоречивост и подчиненост, получаваме, че когато О-твърдението е истинно, А-твърдението е неистинно, а истинностните стойности на E и I-твърденията са неопределени (могат да бъдат както И, така и Н).

Да видим сега каква ще е истинната стойност на другите три твърдения, ако истинностната стойност на O-твърдението е Н. По диагонала получаваме, че А-твърдението (отрицанието на О) е истинно. От отношението на противност знаем, че ако едното общо твърдение е истинно, другото общо е неистинно. Значи Е-твърдението е неистинно. Но тогава по диагонала неговото отрицание (I-твърдението) ще е истинно. Като цяло, въз основа на отношенията на противоречивост и противност, получаваме, че когато частно-отрицателното (О) твърдение е неистинно А и I-твърденията са истинни, а Е-твърдението е неистинно.

По напълно аналогичен начин, ако знаем истинностната стойност на едно от четирите категорични твърдения, чрез използване на отношенията на противоречивост, противност и подчиненост можем да определяме истинностната стойност на останалите три твърдения (в случай, че това е възможно). По принцип винаги се получава или че истинностната стойност на едното от тях (на това по диагонала) е определена, а на другите две е неопределена (както беше, когато О-твърдението е истинно), или че истинностната стойност и на трите е определена (както беше, когато О-твърдението е неистинно).

Това изчерпва съдържанието на логическия квадрат. Двете най-важни неща в него, които ще използваме и по-нататък, са 1) че общо-утвърдителното (А) и частно-отрицателното (О) твърдение, от една страна, и общо-отрицателното (Е) и частно-утвърдителното (I) твърдение, от друга, са точни отрицания едно на друго, поради което винаги имат обратната истинностна стойност, и 2) че (според разбирането на традиционната логика) частно-утвърдителното (I) твърдение следва логически от общо-утвърдителното (A), а частно-отрицателното (О) – от общо-отрицателното (Е), т.е. от едно общо твърдение следва частното със същото качество.

Операциите обръщане и превръщане

Операцията обръщане е логическа валидна схема за извод, която има само една предпоставка, и в заключението ѝ участват същите термини като в предпоставката, но разменни – субектът е станал предикат, а предикатът – субект. Ето един пример за обръщане:

Нито една котка не е земноводно.
Нито едно земноводно не е котка.

Субект в предпоставката е терминът „котка“, а предикат – терминът „земноводно“. В заключението е обратно – „земноводно“ е предикат, а „котка“ – субект. Изводът е логически валиден. Когато са изпълнени тези две условия: изводът да е валиден и субектът и предикатът на предпоставката да са разменени в заключението, за твърдението на предпоставката казваме, че е подложено на операцията обръщане, в резултат на което е получено твърдението на заключението.

При операцията обръщане от общо-утвърдителното (А) твърдение се получава частно-утвърдително (I) твърдение:

Всяко S е Р. SаР Пример: Всяка котка е бозайник.
Някои Р са S. РiS Някои бозайници са котки.

Това, че това е една валидна схема за извод4, може да види от диаграмата с възможните отношения между обемите на субекта и предиката в едно категорично твърдение, която използвахме по-рано:

За да е логически валиден един извод, истинността на предпоставките трябва да гарантира истинност на заключението, а последното е факт, когато заключението е истинно във всеки от възможните случаи, в които предпоставките са истинни. Следователно, за да се убедим във валидността на горната схема за извод, трябва да проверим дали във всеки от случаите, в които предпоставката е истинна, заключението също е истинно. Едно твърдение от вида „Всяко S е P“ („SaP“) е истинно само в случаи 1) и 2). Лесно се вижда, че в тези случаи е истинно, че някои Р са S (РiS).

Общо-утвърдителното твърдение не се обръща в общо-утвърдително (т.е. от „SaP“ не следва „РаS“), защото първото е истинно в случай 1), а тогава има такива Р, които не са S, т.е. „РаS“ е неистинно. Например, истинно е, че всички котки са бозайници, но не е истинно, че всички бозайници са котки.

Общо-отрицателното твърдение се обръща в общо-отрицателно:

Нито едно S не е Р. SeР Пример: Нито един метал не е изолатор.
Нито едно Р не е S. РeS Нито един изолатор не е метал.

„Нито едно S не е Р“ е истинно само в случай 4). Тогава „Нито едно Р не е S“ също е истинно. Следователно второто следва от първото.

Частно утвърдителното твърдение се обръща в частно-утвърдително:

Някои S са Р. SiР Пример: Някои камъни са прозрачни.
Някои Р са S. РiS Някои прозрачни неща са камъни.

„Някои S са Р“ е истинно в случаи 1), 2), 3) и 5). Във всеки от тях е истинно и „Някои Р са S“.

Операцията обръщане не е възможна при частно-отрицателните твърдения, с други думи О-твърдението не се обръща. От „SoP“ не следва нито „PaS“, нито „PеS“, нито „PiS“, нито „PоS“. Това се вижда от следното. Предпоставката „Някои S не са Р“ е истинна в случаи 3), 4) и 5). „Всяко Р е S“ („PaS“) не е истинно в нито един от тях. „Нито едно Р не е S“ („PеS“) не е истинно в случаи 3) и 5). „Някои Р са S“ („PiS“), не е истинно в случай 4). Най-силният кандидат, „Някои Р не са S“ („РоS“), не е истинно в случай 5). Например от „Някои бозайници не са котки“ не следва, „Някои котки не са бозайници“.

Операцията обръщане (обобщение):

SaP“ ⇒ „PiS Общо-утвърдителното се обръща в частно-утвърдително.
SeP“ ⇒ „PeS Общо-отрицателното се обръща в общо-отрицателно.
SiP“ ⇒ „PiS Частно-утвърдителното се обръща в частно-утвърдително.
SoP“ ⇒ – Частно-отрицателното не може да се обърне.

Като операцията обръщане, операцията превръщане е валиден извод с една предпоставка. При превръщането субектът и предикатът запазват местата си, но твърдението сменя качеството си (ако е било утвърдително, става отрицателно, и обратно) и предикатът се отрича. Ето един пример: ясно е, че е все едно дали ще кажем „Иван не е пушач“ или „Иван е непушач“. Разликата между тях е, че качеството им е различно (първото е отрицателно, а второто утвърдително) и че предикатът на второто е получен чрез отрицание на предиката на първото.

При операцията превръщане общо-утвърдителното (А) твърдение „Всяко S e P“ става на „Нито едно S не е не-P“ (количеството се запазва, качеството се сменя и предикатът се отрича). Все едно е дали ще кажем „Всеки човек е благороден“ или „Нито един човек не е не-благороден“.

Общо-отрицателното (Е) твърдение „Нито едно S не e P“ се превръща във „Всяко S е не-P“ (количеството се запазва, качеството се сменя и предикатът се отрича). Все едно е дали ще кажем „Нито един човек не е благороден“ или „Всеки човек е не-благороден“.

Частно-утвърдителното (I) твърдение „Някои S са P“ се превръща в „Някои S не са не-P“ (количеството се запазва, качеството се сменя и предикатът се отрича). Все едно е дали ще кажем „Някои хора са благородни“ или „Някои хора не са не-благородни“.

Частно-отрицателното (О) твърдение „Някои S не са P“ се превръща в „Някои S са не-P“ (количеството се запазва, качеството се сменя и предикатът се отрича). Все едно е дали ще кажем „Някои хора не са благородни“ или „Някои хора са не-благородни“.

Нека обърнем внимание върху две разлики между операциите обръщане и превръщане. Първо, всяко от четирите категорични твърдения може да се подложи на операцията превръщане; при операцията обръщане частно-отрицателното твърдение не се обръща. Второ, за разлика от операцията обръщане, която е отношение на логическо следване, операцията превръщане е отношение на логическа еквивалентност, защото не само превърнатото твърдение логически следва от началното, но и началното следва от превърнатото. При операцията обръщане това е така при общо-отрицателното и частно-утвърдителното, но не е така при общо-утвърдителното – от „SaP“ следва „PiS“, но от „PiS“ не следва „SaP“ (от „Някои животни с черна козина са котки“ не следва „Всички котки са животни с черна козина“).

Операцията обръщане (обобщение):

S a P“ ⇔ „S е не-P
S e P“ ⇔ „S a не-P
S i P“ ⇔ „S o не-S
S o P“ ⇔ „S i не-P

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Кой е субектът и предикатът и какъв е видът на следното категорично твърдение? Как се представя символно в традиционната логика? Кое е отрицанието му?

1) Нито един метал не е изолатор.
2) Някои земноводни организми не са гръбначни животни.
3) Всички ловци на бисери са добри плувци.
4) Някои частици се движат със скорост, близка до скоростта на светлината.
5) Всички активни противници на вдигането на корпоративния данък са членове на търговската камара.
6) Нито едно лекарствено средство, което може да се купи без лекарско предписание, не предизвиква зависимост.
7) Съществуват насекоми с 8 крака.
8) Видрата не е подходяща за домашен любимец.
9) Няма котки, които не мъркат.
10) Мразя змии.
11) Само хората се смеят.
12) Иван не се интересува от нищо друго освен от своите кучета.
13) Само позналите нещастието са способни да обичат.
14) Иван избягва всичко, което не обича.
15) Иван харесва всичко, което харесва Мария.
16) Иван не може да надбяга всеки от отбора.
17) Иван не може да надбяга който и да е от отбора.
18) Раците са единствените земноводни на този остров.

(2) Каква е истинностната стойност на останалите три вида категорични твърдения, ако:

1) общо-утвърдителното е истинно.
2) общо-утвърдителното е неистинно.
3) общо-отрицателното е истинно.
4) общо-отрицателното е неистинно.
5) частно-утвърдителното е истинно.
6) частно-утвърдителното е неистинно.

(3) Извършете (ако е възможно) операциите обръщане и превръщане върху следните твърдения:

1) Всички триъгълници са геометрични фигури.
2) Нито един оптимист не е човек, който познава живота.
3) Всички ловци на бисери са добри плувци.
4) Някои растителни видове са организми, които не живеят на сушата.
5) Някои наркотици не са вещества, които предизвикват зависимост.
6) Само позналите нещастието са способни да обичат.

(4) Като използвате операциите обръщане и превръщане, докажете че:

1) oт „Всички социалисти са пацифисти“ следва „Всички не-пацифисти са не-социалисти“.
2) oт „Някои социалисти са пацифисти“ следва „Някои пацифисти не са не-социалисти“.
3) oт „Някои социалисти не са пацифисти“ следва „Някои не-пацифисти не са не-социалисти“.
4) oт „Нито един социалист не е пацифист“ следва „Някои не-социалисти не са не-пацифисти“.
5) oт „Нито един социалист не е пацифист“ следва „Някои не-пацифисти не са не-социалисти“.


1. Едно множеството е строго подмножество на другo, когато всички елементи на първото са елементи и на второто, но не всички елементи на второто са елементи на първото. 2. Във всеки от показаните случаи се предпоставя, че S и Р не са празни, т.е. че има някакви неща, които попадат под тях. Тази предпоставка се прави (мълчаливо) в традиционната логика. 3. Двете общи твърдения са еквивалентни на „Ако нещо е S, то е Р“ и на „Ако нещо не е S, то не е Р“. При празно S антецедентите на тези импликации стават неистинни, което прави самите импликации истинни. 4. Съществено условие за валидността ѝ е обемът на субекта да не е празно множество. В традиционната логика това условие (мълчаливо) се предпоставя.