2.2 Силогизми

Какво е силогизъм?

Силогизмите се определен вид изводи или схеми за извод (валидни или невалидни), които имат две предпоставки и едно заключение. Ето два примера:

(1) Нито един метал не е изолатор.
Някои метали са течности.
Някои течности не са изолатори.
(2) Всички хора са смъртни.
Нито един смъртен не е бог.
Нито един бог не е човек.

Във всеки силогизъм участват общо три термина (в (1) това са „течност“, „изолатор“ и „метал“, а в (2) – „бог“, „човек“ и „смъртен“). Субектът на заключението („течност“ в (1) и „бог“ – в (2)) се нарича „малък термин“ и освен в заключението участва в една от предпоставките (втората в примерите). Предикатът на заключението („изолатор“ в (1) и „човек“ в (2)) се нарича „голям термин“ и освен в заключението участва в другата предпоставка (първата в примерите). Малкият и големият термин се наричат още „крайни термини“. Третият от термините, който не участва в заключението, но участва и в двете предпоставки („метал“ в (1) и „смъртен“ в (2)), се нарича „среден термин“.

Предпоставката, която съдържа малкия термин (субекта на заключението) се нарича „малка предпоставка“, а тази, която съдържа „големия термин“ (предиката на заключението), се нарича „голяма предпоставка“. И в двата примера голямата предпоставка е първата, а малката – втората. Това е стандартният начин, по който се подреждат предпоставките в един силогизъм, когато той трябва да бъде анализиран логически – първо голямата, после малката. Но, разбира се, съвсем не е задължително да е така в живота. Редът на предпоставките в един извод е ирелевантен, така че ако някой би искал да направи същия извод като (1) или (2), спокойно би могъл да изкаже предпоставките в обратен ред – първо малката, после голямата, и дори би могъл да изкаже заключението преди предпоставките. Например би могъл да каже „Някой течности не са изолатори, защото някои метали са течности, а нито един метал не е изолатор“, казвайки по този начин първо заключението, после малката и накрая голямата предпоставка – точно обратния на стандартното подреждане ред.

За да определим елементите на един силогизъм (кой е малкият термин, голямата предпоставка и т.н.) тръгваме от заключението. Субектът и предикатът на заключението са съответно малкият и големият термин. След като сме определили кой е малкият и кой – големият термин, можем да определим коя е голямата и коя е малката предпоставка – предпоставката, която съдържа малкия термин, е малката предпоставка, а тази, която съдържа големия термин – голямата. Средният термин е този, който се среща и в двете предпоставки и не се среща в заключението. След това за целите на логическия анализ е препоръчително да напишем силогизма в стандартна форма, т.е. да напишем първо голямата предпоставка, после малката и накрая заключението. Това е ключово за правилното определяне на фигурата и модуса на анализирания силогизъм.

Фигури на силогизма

Като правило малкият термин на един силогизъм се представя символно с „S“, големият – с „Р“, а средният – с „М“. Например, стандартното символно представяне на (1) и (2) е следното:

(1) MeP PaM
MiS MeS
SoP SeP

От него ясно се вижда, че освен по вида на предпоставките и заключението, двата силогизма се различават по разположението на средния термин. В първия от тях средният термин (М) е субект и в двете предпоставки, а във втория е предикат в голямата и субект в малката. Разположението на средния термин определя фигурата на един силогизъм. Има четири възможни разположения на средния термин, които определят четирите фигури на силогизма:

I фиг. M – P II фиг. P – M III фиг. M – P IV фиг. P – M
S – M S – M M – S M – S
S – P S – P S – P S – P

В първа фигура средният термин (М) е субект в голямата и предикат в малката предпоставка. Във втора фигура е предикат и в двете предпоставки. В трета фигура е субект и в двете предпоставки. В четвърта фигура е предикат в голямата и субект в малката предпоставка.

От силогизмите (1) и (2), които представихме символно в (3), първият е от трета, а вторият – от четвърта фигура.

Модуси на силогизма

Освен по това, какви термини участват в тях, и коя е фигурата им, два силогизма могат да се различават и по вида на твърденията (двете предпоставки и заключението) – дали са А, E, I или О-твърдения. Видът на твърденията определя модуса на силогизма. Например в (1) голямата предпоставка е Е-твърдение, малката – I-твърдение, а заключението – О-твърдение, поради което той е от модус EIO, докато в (2) голямата предпоставка е А-твърдение, а малката предпоставка и заключението – Е-твърдения, поради което той е от модус АЕЕ (редът на буквите отговаря съответно на вида на голямата предпоставка, на малката предпоставка и на заключението). Логическата форма на един силогизъм е напълно определена от модуса и фигурата му. Така (1) е модус ЕIO от трета фигура, което ще записваме „EIO-3“, а (2) е модус АЕЕ от четвърта фигура (АЕЕ-4).

Тъй като в качеството му на схема за извод един силогизъм е напълно определен от модуса и фигурата, за да определим колко са всички възможни силогизми, трябва да определим колко са възможните комбинации от модуси и фигури. Възможните модуси са 64, защото за голямата предпоставка имаме 4 възможности (А, Е, I, или О ), които като се комбинират с още 4 възможности за малката предпоставка, се получават 4х4=16 възможности, които като се комбинират с още 4 възможности за заключението, се получават общо 16х4=64 възможни модуса. (EIO и АЕЕ модусите на двата наши примера са две от тези 64 възможности.) Тъй като освен това всеки един модус може да е в една от четирите фигури, като умножим броя на модусите с броя на фигурите, за общия брой на всички силогизми се получава 64x4=256.

От всички 256 силогизма само 24 са логически валидни, т.е. само при 24 от тях заключението следва логически от предпоставките.

Валидни силогизми

Двата наши примера, които представихме символно в (3) (EIO-3 и АЕЕ-4), са логически валидни. Валидността на АЕЕ-4 може да се види от следната диаграма:

В голямата предпоставка се твърди, че всички Р са М, и значи обемът на Р е подмножество на обема на М. В малката предпоставка се твърди, че нито едно М не е S, и значи обемът на М няма общи елементи с този на S. Всички това е представено на диаграмата с кръгове. От нея се вижда, че обемите на S и Р не могат да имат обща част – щом като Р се включва напълно в М, а М се изключва напълно от S, то трябва и S да се изключва напълно от Р, т.е. по необходимост нито едно S не е Р, каквото се твърди в заключението.

Нека да разгледаме и един невалиден силогизъм, например ААА-4:

В голямата предпоставка се твърди, че всички Р са М, което е представено от отношението на двата най-вътрешни кръга. Във малката предпоставка се твърди, че всички М са S, на което в диаграмата отговаря това, че кръгът на М влиза напълно в кръга на S. В заключението се твърди, че всяко S е Р, но от диаграмата се вижда, че това е изпълнено само когато обемите на Р, М и S съвпадат. Когато това не е така (което впрочем е състоянието на нещата, показвано на диаграмата), има неща, които са S, но не са Р, и съответно заключението е неистинно, въпреки че предпоставките са истинни – следователно силогизмът е невалиден.

По-горе казахме, че от всичките 256 силогизма само 24 са валидни. Таблицата отдолу показва кои са те във всяка от четирите фигури:

I фигура II фигура III фигура IV фигура
AAA-1 (Barbara) EAE-2 AAI-3 AAI-4
ЕАЕ-1 (Celarent) AEE-2 IAI-3 AEE-4
AII-1 (Darii) EIO-2 AII-3 EAO-4
EIO-1 (Ferio) AOO-2 EAO-3 IAI-4
(AAI-1) (EAO-2) EIO-3 EIO-4
(EAO-1) (AEO-2) OAO-3 (AEO-4)

Във всяка фигура има по 6 валидни силогизма. Два от I-ва и II-ра фигура и един от IV-та са заградени в скоби. Тези силогизми имат същите предпоставки като други валидни силогизми от същата фигура, но за разлика от тях имат частно, а не общо заключение. Например в I-ва фигура AAI-1 има същите предпоставки (две А-твърдения) както (AAA-1), но частно-утвърдително (I), а не общо-утвърдително (А) заключение. Същото важи и за EAO-1 и ЕАЕ-1 – предпоставките на двата силогизма са същите, но заключението на EAO-1 е частно-отрицателно, а на ЕАЕ-1 – общо-отрицателно. Както знаем от логическия квадрат1, от всяко общо-утвърдително твърдение следва частно-утвърдително (със същия субект и предикат) и по същия начин от всяко общо-отрицателно следва частно-отрицателно2. Поради това дадените в скоби силогизми с частно заключение са всъщност отслабени форми на силогизмите със същите предпоставки, но с общо заключение. От това, че всички хора са смъртни и всички гърци са хора, по AAA-1 може да се заключи, че всички гърци са смъртни. Но, разбира се, щом всички гърци са смъртни, то и някои (поне един) гърци ще са смъртни, т.е. от същите предпоставки ще следва не само твърдението „Всички гърци са смъртни“, но и по-слабото твърдение „Някои гърци са смъртни“. Това, че от същите предпоставки следва по-силно твърдение, до голяма степен обезсмисля тези отслабени форми на валидни силогизми. Като се абстрахираме от тях, валидните силогизми стават 19 – по четири в първа и втора фигура, шест в трета и пет в четвърта. По-нататък, когато говорим за валидни силогизми, ще имаме предвид тези 19 силогизма.

В таблицата с валидните силогизми по-горе след силогизмите от първа фигура в скоби са написани техните собствени имена. Тези имена са им дадени от средновековните логици и гласните в тях отговарят на модуса. Например трите „а“-та в „Barbara“ отговарят на трите А-твърдения в ААА-1. Всички валидни силогизми имат такива собствени имена. Посочили сме само тези на силогизмите от първа фигура, защото на последните в традиционната логика е придавано най-голямо значение. Причината за това е, че Аристотел ги предпоставя в качеството им на аксиоми и (в Първа аналитика) чрез тях доказва валидността на силогизмите от останалите фигури3. Важността на първа фигура идва освен това от факта, че от нея е единственият силогизъм с общо-утвърдително заключение (Barbara) – заключенията на валидните силогизми от втора фигура са само отрицателни, на тези от трета фигура – само частни, а на тези от четвърта са разнообразни, но липсва общо-утвърдително.

Преди да видим как посредством валидните силогизми от първа фигура Аристотел извежда валидността на силогизмите от останалите три фигури, нека се убедим интуитивно с диаграми в логическата валидността на Barbara, Celarent, Darii и Ferio (четирите валидни силогизма от първа фигура).

В предпоставките на Barbara се твърди, че всяко М е Р и че всяко S е М. Щом М-овете влизат напълно в Р-тата, а S-овете – в М-овете, то няма как S-овете да не влизат напълно в Р-тата, т.е. няма как всяко S да не е Р.

В предпоставките на Celarent се твърди, че всяко S е М и че нито едно М не е Р. Щом S-овете се включват в М-овете, а М-овете се изключват от Р-тата, то няма как S-овете да не се изключват от М-овете, т.е. по необходимост трябва нито едно S да не е Р.

В предпоставките на Darii се твърди, че всички М са Р и че някои S са M. Щом М се включва напълно в Р, а някаква част от S се включва в М, то тази същата част на S ще се включва в Р, т.е. някои S ще бъдат Р. (Това, че само някаква част от обема на S се включва в обема на М, на диаграмата е изобразено чрез това, че в кръга на М е начертана само част от кръга на S.)

В предпоставките на Ferio се твърди, че нито едно М не е Р и че някои S са М. Щом целият обем на М се изключва от обема на Р, а някаква част от обема на S се включва в обема на М, то същата тази част от обема на S ще се изключва от обема на Р, т.е. някои S няма да са Р, което се твърди в заключението.

Нека видим сега как Аристотел доказва валидността на валидните силогизми от другите три фигури посредством валидността на Barbara, Celarent, Darii и Ferio, в която се убедихме интуитивно чрез диаграми. Доказателствата използват операцията обръщане и това, че двойките твърдения А и О, от една страна, и Е и I, от друга, са точни отрицания едно на друго4.

Като първи пример нека докажем валидността на ЕАЕ-2:

РeМ
SаM
SеP

Приемаме, че предпоставките са истинни и искаме да докажем, че от тях следва заключението:

1. РеМ
2. SaM / SеP

От 1. по операцията обръщане следва MeP:

3. MeP от 1. по обръщане

Сега от 3. и 2. можем да изведем SeP (това което търсим) въз основа на валидния силогизъм от първа фигура EAE-1 (Celarent), в който 3. играе ролята на голяма, а 2. – на малка предпоставка:

МеР
SаM
SеP
4. SeP от 3. и 2. по Celarent

Като следващ пример ще докажем валидността на АЕЕ-4 (втория пример в (3) по-горе):

1. PaM
2. MeS / SeP
3. PeS от 2. и 1. по Celarent
4. SeP от 3. по обръщане

При извода на 3. от 2. и 1. с използване на Celarent голямата предпоставка в последния е MeS (2.), a малката е РаМ (1.). P играе ролята на малък термин, M – на среден, а S – на голям, т.е. имаме следното:

MeS
РаМ
РeS

Не всички валидни силогизми от останалите три фигури могат да се изведат директно от четирите валидни силогизма на първа фигура с използване на операцията обръщане. Пример на силогизъм, за който това не е възможно е АОО-2:

РаМ
SoM
SoP

Както знаем5, частно-отрицателното (О) твърдение не може да се обръща. Следователно при доказателството на този силогизъм можем да обърнем само голямата предпоставка „РаМ“, в резултат на което ще получим „MiP“. Тогава заедно с „SoM“ ще имаме на разположение две частни твърдения. Но в първа фигура няма валиден силогизъм с две частни предпоставки – всъщност изобщо не съществува такъв валиден силогизъм. Следователно тук не може да подхождаме както досега. В случаи като този, където не е възможно директно доказателство, Аристотел използва доказателство чрез свеждане до противоречие6. Да видим как става това с въпросния АОО-2:

1. PaM
2. SoM / SoP
3. SaPSoP) допускане
4. SaM от 1. и 3. по Barbara (S – малък, Р – среден, М –голям термин) – противоречие с 2.
5. SoP от 3. – 4. по свеждане до противоречие

В 3. сме допуснали отрицанието на заключението („¬SoP“). Тъй като обаче А и О-твърденията са точни отрицания едно на друго, всъщност сме допуснали „SaP“. По същата причина 4. („SaM“) противоречи на 2. („SoM“).

Всеки валиден силогизъм от останалите три фигури (дадени в таблицата по-горе) може да се изведе по един от двата показани начина – с директно доказателство или с доказателство чрез свеждане до противоречие.

Освен това не е необходимо, както прави Аристотел, да приемаме като аксиоми и четирите валидни модуса от първа фигура. Ако приемем като аксиома само Barbara и който и да е от другите три, с доказателство чрез свеждане до противоречие можем да изведем останалите два. Например, ако приемем като аксиоми Barbara и Celarent, Darii и Ferio се извеждат по следния начин:

1. MaP
2. SiM / SiP
3. SePSiP) допускане
4. PeS от 3. по обръщане
5. MeS от 4. и 1. по Celarent (М – малък, Р – среден, S – голям термин)
6. SeM от 5. по обръщане – противоречие с 2.
7. SiP от 3. – 6. по свеждане до противоречие

1. MeP
2. SiM / SoP
3. SaPSoP) допускане
4. PeM от 1. по обръщане
5. SeM от 4. и 3. по Celarent (S – малък, Р – среден, M – голям термин) – противоречие с 2.
6. SoP от 3. – 5. по свеждане до противоречие

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Кой е малкият, средният и големият термин в следните силогизми? Определете модуса и фигурата им. Представете ги символно.

1) Всички планети се движат по елиптични орбити.
Всички планети са космически тела.
Някои космически тела се движат по елиптични орбити.
2) Всички патици имат два крака.
Сократ има два крака.
Сократ е патица.
3) Всички банкери са богати хора.
Някои богати хора са амбициозни.
Някои амбициозни хора са банкери.
4) Всяко нещо, което е напълно съвършено, съществува.
Бог е напълно съвършен.
Бог съществува.
5) Всички птици са животни.
Всички животни са организми.
Някои организми са птици.
6) Всеки благороден човек уважава закона.
Нито един престъпник не уважава закона.
Нито един престъпник не е благороден човек.
7) Всички поети са деликатни хора.
Някои поети са българи.
Някои българи са деликатни хора.
8) Всички птици могат да летят.
Някои домашни животни не са птици.
Някои домашни животни не могат да летят.
9) Нито едно деспотично управление не води до прогрес.
Всяка добра форма на управление води до прогрес.
Нито една добра форма на управление не е деспотичнa.

(2) Като използвате валидните силогизми от първа фигура и операцията обръщане, докажете, че следните силогизми са валидни.

1) EIO-2
2) AEE-2
3) AII-3
4) EAO-3
5) OAO-3
6) AAI-4
7) EIO-4


1. Виж „2.1 Категорични твърдения“. 2. Предпоставка, това следване да е валидно, е обемът на субекта да не е празно множество – нещо, което традиционната логика мълчаливо предпоставя. 3. По някаква причина Аристотел не се занимава с четвърта фигура, но силогизмите в нея се доказват съвсем аналогично по начина, чрез който доказва силогизмите от 2-ра и 3-та фигура. 4. Виж секциите „Операциите обръщане и превръщане“ и „Логически квадрат“ в „2.1 Категорични твърдения“. 5. Виж „Операциите обръщане и превръщане“ в „2.1 Категорични твърдения“. 6. За доказателството чрез свеждане до противоречие виж „1.8 Естествена дедукция“.