2.3 Правила за валидност на силогизмите

Разпределени и неразпределени термини

В традиционната логика са формулирани общи правила, които изпълняват ролята на критерий (необходимо и достатъчно условие) за това, дали един силогизъм е логически валиден, или не. Правилата използват понятието за разпределеност на термините в едно категорично твърдение, което се състои във следното.

Това, което се казва в произволно категорично твърдение, може да се интерпретира като утвърждаване на определено отношение между обемите на субекта и предиката в него. В зависимост от това, дали твърдението е утвърдително, или отрицателно, отношението е съответно на включване или на изключване. Субектът или предикатът са разпределени или неразпределени в едно твърдение в зависимост от това, дали участват във въпросното отношение с целия си обем, или само с част от обема си. По този начин разпределеността на един термин зависи изцяло от вида на твърдението и от това, дали терминът е субект, или предикат в него.

Когато някой изказва едно общо-утвърдително твърдение („Всяко S е Р“), той се ангажира с това, че целият обем на субекта S се включва в обема на предиката Р, но не се ангажира с това, че целият обем на предиката се включва в обема на субекта (ако всяко S е P, някаква част от Р ще се включва в S1, но не е задължително да е цялата). Затова субектът участва с целия си обем в отношението на включване, изразявано от едно А-твърдение, а предикатът – само с част от обема си, т.е. в А-твърдението субектът е разпределен, а предикатът е неразпределен.

В едно общо-отрицателното твърдение („Нито едно S не е Р“) се твърди, че целият обем на S, че се изключва от целия обем на Р. Затова в отношението на изключване, изразявано от едно общо-отрицателно твърдение, както субектът, така и предикатът участват с целия си обем, т.е. в Е-твърдението и субектът, и предикатът са разпределени.

В едно частно-утвърдително твърдение („Някои S са Р“) се съдържа, че част от обема на S се включва в обема на Р и (като следствие) – че част от обема на Р се включва в обема на S, но в него не се съдържа нито, че целият обем на S се включва в този на Р, нито че целият обем на Р се включва в този на S. (Макар че последните две неща са възможни, те не са задължителни, и който изказва едно I-твърдение, не се ангажира с тях.) Затова нито субектът, нито предикатът участват в отношението на включване, отговарящо на едно частно-утвърдително твърдение, с целия си обем, т.е. в I-твърдението и субектът, и предикатът са неразпределени .

Във всяко частно-отрицателно твърдение („Някои S не са Р“) се утвърждава, че част от обема на S се изключва от целия обем на Р. (Макар че е възможно целият обем на S да е извън този на Р, това не е задължително и не се утвърждава в О-твърдението.) Затова в отношението на изключване, отговарящо на едно частно-отрицателно твърдение, субектът участва само с част от обема си, а предикатът – с целия си обем, т.е. в О-твърдението субектът е разпределен, а предикатът е неразпределен.

Долната таблица обобщава понятието за разпределеност на термините в едно категорично твърдение:

субект (S) предикат (P)
общо-утвърдително (А) разпределен неразпределен
общо-отрицателно (Е) разпределен разпределен
частно-утвърдително (I) неразпределен неразпределен
частно-отрицателно (О) неразпределен разпределен

Субектът е разпределен в двете общи твърдения (А и Е), a в двете частни (I и О) – не е; предикатът е разпределен в двете отрицателни твърдения (E и О), a в двете утвърдителни (А и I) – не е. Затова разпределеността (неразпределеността) на термините може да се обобщи така: в общите твърдения е разпределен субектът, а в отрицателните – предикатът.

Правила за валидност на силогизмите

Всяко от тези правила е такова, че един силогизъм задължително трябва да го спазва, за да е валиден, т.е. всяко правило е необходимо условие за валидност на който и да е силогизъм. От друга страна всеки невалиден силогизъм нарушава едно или повече от тези правила. Това означава, че ако един силогизъм удовлетворява всички правила, той ще е валиден, т.е. взети заедно правилата са достатъчно условие за валидност на един силогизъм. Взети поотделно обаче те не са достатъчно условие за валидност – един силогизъм може да е невалиден и да удовлетворява едно или повече от правилата, това което не може обаче е да удовлетворява всичките.

Ще въведем пет правила, които в своята цялост са достатъчни за да разграничат валидните от невалидните силогизми. След това, за удобство, ще въведем още две, които е формулирал Аристотел. Когато един силогизъм удовлетворява въпросните пет правила, той е валиден; когато нарушава едно (или повече) от тях, той е невалиден. Две от правилата се отнасят до разпределеността на термините, а другите три – до отрицателните твърдения; допълнителните две се отнасят до частните твърдения.

Правило, което всеки валиден силогизъм трябва да спазва, е, че средният термин трябва да е разпределен в поне една от предпоставките.

Причината за това правило e опосредстващата роля на средния термин. Един силогизъм е валиден, когато отношението между обемите на двата крайни термина (S и P), утвърждавано в заключението, е следствие от отношенията, които всеки от крайните термини има със средния термин (М) в предпоставките. Ако и в двете предпоставки средният термин не е разпределен, той в отношение към всеки от крайните термина само с част от обема си. Тогава е възможно въпросните две части да нямат общи елементи, в резултат на което той няма да може да осъществи опосредстващата си роля – отношението между крайните термин, утвърждавано в заключението, няма да следва от утвърждаваните в предпоставките отношения на крайните термини към средния термин.

Пример за силогизъм, който нарушава това правило и съответно е невалиден, е ААI-2:

PaM пример: Всички делфини са бозайници.
SaM Всички тюлени са бозайници.
SiP Някои тюлени са делфини.

Неразпределеността на средния термин („бозайник“) допуска само част от бозайниците да са делфини и само част от бозайниците да са тюлени. В случая двете части нямат общи елементи, което прави заключението неистинно.

Второто правило, отнасящо се до разпределеността на термините, е, че ако някой от крайните термини е разпределен в заключението, той трябва да е разпределен и в предпоставката .

Причината за правилото отново е опосредстващата роля на средния термин. Ако един краен термин не е разпределен в предпоставката, е възможно да в отношение със средния термин само с част от обема си. Ако се е случило да е така и средният термин успее успешно да осъществи опосредстващата си роля и да осигури връзка на въпросния краен термин с другия краен термин, то тя ще е най-много с въпросната част от обема на първия краен термин. Но ако е разпределен в заключението, първият краен термин ще е в отношение към втория с целия си обем, което е невъзможно. По същество това правило ни казва, че в заключението не може да се съдържа повече отколкото се съдържа в предпоставките. Силогизъм, който нарушава това правило и съответно е невалиден, е например АЕЕ-1:

МаР пример: Всички тигри са хищници.
SеM Нито един лъв не е тигър.
SеP Нито един лъв не е хищник.

Проблемът е в големия термин („хищник“), който е разпределен в заключението (тъй като там е предикат на общо-отрицателно твърдение), но не е разпределен в предпоставката (тъй като там е предикат на общо-утвърдително твърдение).

Следващо правило, което всеки валиден силогизъм трябва да спазва, е че не може и двете предпоставки да са отрицателни (т.е. поне една от предпоставките трябва да е утвърдителна.) Причината за правилото е, че ако и двете предпоставки са отрицателни, между двата крайни термина и средния термин има отношение на изключване. Тогава средният термин не е в състояние да осъществи опосредстващата си роля, защото отношението между крайните термина може да е всякакво – обемите им може както да се включват един в друг (изцяло или отчасти), така да в се изключват (изцяло или отчасти), т.е. връзката между крайните термини и средния в предпоставките не осигурява по необходимост връзка между крайните термини в заключението. Силогизъм, който нарушава това правило и съответно е невалиден, е например EOO-3:

МeР пример: Нито една риба не е бозайник.
MoS Някои риби не са тигри.
SoP Някои тигри не са бозайници.

Следващо правило (в което отново става въпрос за отрицателни твърдения) е, че ако една от предпоставките е отрицателна, заключението също трябва да е отрицателно . Това правило е еквивалентно (по транспозиция) на правилото, че ако заключението е утвърдително, то предпоставките (и двете) също трябва да са утвърдителни. Причина за правилото е, че когато един силогизъм има утвърдително заключение, т.е. заключение, в което се утвърждава включване на (целия или част от) обема на единия краен термин в обема на другия, това отношение не може да следва от отношенията на крайните термини със средния, ако някое от тях е отношение на изключване. Силогизъм, който нарушава правилото и съответно е невалиден, е например ЕII-1:

МeР пример: Нито едно водно животно не лети.
SiM Някои змии са водни животни.
SiP Някои змии летят.

Последното от правилата е, че ако заключението на един силогизъм е отрицателно, то поне една от предпоставките също трябва да е отрицателна . Правилото много прилича на предишното, но е в другата посока – от заключението към предпоставките. То е еквивалентно (по транспозиция) на правилото, че ако и двете предпоставки са утвърдителни, то заключението също трябва да е утвърдително . Причината за правилото е, че от отношения на включване между всеки от крайните термини и средния би могло да следва само отношение на включване между крайните термини. Невалиден силогизъм, който нарушава това правило, е например АIО-2:

РаМ пример: Всички бозайници са гръбначни животни.
SiM Някои котки са гръбначни животни.
SоP Някои котки не са бозайници.

Освен това горният силогизъм нарушава и правилото, че средният термин трябва да е разпределен в поне една от предпоставките. Това се случва не рядко – ако един силогизъм е невалиден, той нарушава поне едно от правилата, но може да нарушава и повече от едно.

Събрани на едно място, правилата за валидност на силогизмите са следните:

Взети заедно тези пет правила са достатъчни за да отделят валидните от невалидните силогизми. Никой валиден силогизъм не нарушава никое тях и всеки невалиден силогизъм нарушава поне едно от тях. Така че разполагаме със следния начин за проверка на валидността на произволен силогизъм. Проверяваме последователно дали силогизмът нарушава някое от правилата. Ако стигнем до такова правило, спираме проверката – силогизмът е невалиден. Ако удовлетвори и последното правило, силогизмът е валиден.

Макар и горните пет правила да са достатъчни за разграничаването на валидните от невалидните силогизми, към тях ще добавим следните две правила, в които се говори за частни твърдения:

Тези правила са формулирани от Аристотел и могат да бъдат изведени от горните. Всяко от тях е необходимо условие за валидност на един силогизъм. Правилата са подобни на две от трите горни правила, в които се говори за отрицателни предпоставки – на това, че ако някоя предпоставка е отрицателна, заключението също трябва да е отрицателно, и на това, че не може и двете предпоставки да са отрицателни. Аналогът на третото такова правило – това, че ако заключението е отрицателно, поне една от предпоставките също трябва да е отрицателна, не е валиден. Не е вярно, че ако заключението е частно, поне една от предпоставките също трябва да е частна. Например силогизмите AAI-3 и AAI-4 са валидни. (Правилото обаче е валидно за съвременната логика, която третира общите твърдения по такъв начин, че от две общи не може да следва частно. По-подробно за това виж в следващата секция „2.4 Диаграми на Вен“.)

Макар и да можем да минем без двете допълнителни правила, те са удобни за отхвърлянето на някои невалидни силогизми, тъй като са по-лесни за прилагане от правилата, които говорят за разпределеност на термините. Така например за невалидния силогизъм IOO-1

МiP
SoM
SoP

веднага се вижда, че има две частни предпоставки, докато от горните пет правила той нарушава само правилото, че термин, разпределен в заключението, трябва да е разпределен и в предпоставката (P е разпределен в заключението, без да е разпределен в предпоставката) – нещо, което не е толкова лесно да се види.

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Определете кои правила за валидност са нарушени в следните силогизми. (За целта преди това ги представете в по-разгърнат символен вид.)

1) IAI-2
2) IAO-3
3) AEE-3
4) AAA-3
5) AII-4
6) EAA-1
7) OEO-4
8) EAE-4
9) IEO-1

(2) Следните аргументи имат формата на силогизми. Представете ги символно и като използвате правилата за валидност на силогизмите, определете дали са логически валидни.

1) Някой добри физици нямат добро пространствено въображение, тъй като всички добри физици са добри математици, а някои добри математици имат слабо пространствено въображение.
2) Ако човек е с коефициент на интелигентност под 50, той е малоумен, а никой, който може да завърши университет, не е с коефициент на интелигентност под 50. Следователно никой, който може да завърши университет, не е малоумен.
3) Някои управители на централни банки, имат крайно леви убеждения, а никой със крайно леви убеждения не е либерал. Следователно някои либерали не са управители на централни банки.
4) Всички управители на предприятия са активни противници на вдигането на корпоративния данък, защото всички членове на търговската камара са управители на предприятия, а всички активни противници на вдигането на корпоративния данък са членове на търговската камара.
5) Някои наркотици са лекарствени средства, които могат да се купят без лекарско предписание. Нито едно лекарствено средство, което може да се купи без лекарско предписание, не предизвиква зависимост. Следователно някои наркотици не предизвикват зависимост.


1. Последното следва само ако S не е празно, което традиционната логика мълчаливо предпоставя.