2.4 Диаграми на Вен

Диаграмите на Вен са измислени в края на 19-ти век (Venn, 1880) и, така да се каже, се намират някъде в междинната територия между традиционната и съвременната логика, защото от една страна служат за определяне на логическата валидност на изводи, съставени изключително от категорични твърдения (най-вече силогизми), но от друга страна самите категорични твърдения се анализират така както го прави съвременната, а не на традиционната логика.

Няколко пъти вече беше споменато, че в традиционната логика мълчаливо се предпоставя, че термините на категоричните твърдения не са празни. Това се вижда от начина, по който се третират в нея отношенията на логическия квадрат и операцията обръщане1. Съгласно отношението на подчиненост в логическия квадрат от всяко общо-утвърдително твърдение следва частно-утвърдително със същия субект и предикат и същото важи за общо-отрицателното и частно-отрицателното. Всяко частно-утвърдително твърдение обаче може да се перифразира с изречението „Съществува поне едно S, което е P“, в което очевидно се съдържа, че съществува поне едно S и поне едно P. Съответно всяко частно-отрицателно твърдение се перифразира с изречението „Съществува поне едно S, което не е P“, в което се съдържа, че съществува поне едно S, без да има информация дали съществуват P-та. Тъй като частно-утвърдителното следва от общо-утвърдителното, а частно-отрицателното – от общо-отрицателното, излиза, че в общо-утвърдителното скрито се твърди, че съществуват S-ове и P-та, a в общо отрицателното – че съществуват S-ове; ако не беше така, истинността на общите твърдения не би могла да гарантира истинност на частните, защото тогава за А-твърдението щеше да е възможно да е истинно, когато не съществуват S-ове или P-та, а за Е-твърдението – когато не съществуват S-ве, но тогава I и О-твърденията са задължително неистинни. Така че в традиционната логика се предпоставя, че както субектите, така и предикатите на двете утвърдителни и субектите на двете отрицателни твърдения не са празни. Но заради операцията обръщане е необходимо и предикатът на общо-отрицателното да не е празен, защото от всяко общо-отрицателно твърдение следва общо-отрицателно, в което предикатът на първото е станал субект, а субектът на общо-отрицателното не е празен. Няма как такова следване да е налице, ако е възможно предикатът на общо-отрицателното да е празен. Остана да видим, че в традиционната логика се предпоставя и че предикатът на частно-отрицателното твърдение не е празен. Това се вижда от следното. Когато твърдим едно частно-отрицателно твърдение, общо-отрицателното (Е) твърдение със същия субект и предикат разбира се съществува и е истинно или неистинно. Ако е истинно, предикатът му не е празен (вече видяхме това) и следователно не е празен и предикатът на частно-отрицателното, който е същият. Ако Е-твърдението е неистинно, тогава (по логическия квадрат) I-твърдението е истинно, поради което предикатът му не е празен, и значи не е празен и предикатът на частно-отрицателното (O) твърдение, който е същият. Видяхме защо в традиционната логика се предпоставя, че както субектът, така и предикатът на което и да е категорично твърдение не е празен.

Напротив, в съвременната логика (и при диаграмите на Вен) единствено от частните твърдения следва нещо за съществуването на неща, които попадат под термините им. По-конкретно от I-твърдението следва, че съществуват S-ове и P-та, а от O-твърдението – че съществуват S-ове, без да има информация дали съществуват P-та. В общо-утвърдителното и общо-отрицателното не се съдържа никаква информация за съществуването на S-ове или P-та. Това е така, защото общо-утвърдителното „Всяко S е P“ се разглежда като синонимно на изречението „Ако едно нещо е S, то е P“, а общо-отрицателното „Нито едно S не е P“ – като синонимно на „Ако едно нещо е S, то не е P“. Вторите твърдения са тривиално истинни, когато не съществуват S-ове, без значение дали съществуват P-та, или не. Резултатът е, че А и Е-твърденията могат да са истинни и са истинни, когато не съществуват нито S-ове, нито P-та.

Тази разлика между съвременната и традиционната логика в третирането на категоричните твърдения води до значителни разлики между тях при логическия квадрат, операцията обръщане и валидността на силогизмите, които ще разгледаме по-долу.

Сега да видим какво представляват диаграмите на Вен. Следните диаграми отговарят на четирите категорични твърдения:

Всеки от термините (субектът S и предикатът P) има свой кръг, като положението на кръговете един спрямо друг е фиксирано по показания начин. Вътрешността на всеки кръг отговаря на множеството от нещата, които попадат под съответния термин, а пространството извън кръга – на множеството от нещата, които не попадат под термина. По този начин се получават четири сегмента, отговарящи на четири множества – някои от тях евентуално празни. Приличащото на леща сечение на двата кръга отговаря на нещата, които са едновременно S и P; пространството извън двата кръга – на нещата, които не са нито S, нито P; сегментът на S, приличащ на изядена отдясно луна – на нещата, които са S, но не са P; сегментът на P, приличащ на изядена отляво луна – на нещата, които са P, но не са S. Всеки от сегментите може да бъде маркиран по два възможни начина – или като се защрихова (при нас това става със сив цвят), или като в него да се постави „x“. Защриховането на един сегмент означава, че той е празен; слагането на „x“ в него – че не е празен; липсата на „x“ и защриховане – че липсва информация за това, дали е празен, или не .

В горната лява диаграма като празен е маркиран сегментът на нещата, които са S, но не са P. По този начин диаграмата изразява положението на нещата, че няма S-ове, които не са P-та, с други думи, че ако нещо е S, то е P („Всяко S e P“).

В горната дясна диаграма като празен е маркиран сегментът на нещата, които са едновременно S и P. По този начин диаграмата ни казва, че няма S-ове, които да са P, т.е. ако нещо е S, то не е P („Нито едно S не е P“).

В долната лява диаграма има „x“ в сегмента на тези S-ове, които са P. Тъй като „x“ означава съществуване, диаграмата ни казва, че има поне едно S, което е P („Някои S са P“).

Диаграмата долу вдясно съдържа информацията, че множеството на S-овете, които не са P, не е празно, т.е. – че има поне едно S, което не е P („Някои S не са P“).

В диаграмите на общо-утвърдителното и общо-отрицателното твърдение (горните две) не се съдържа информация относно съществуването на каквото и да е. Единственият начин да се изрази съществуване в диаграма на Вен е като се постави „x“ в някой от сегментите; липсата на „x“ (заедно с липсата на защриховане) не означава, че сегментът е празен, а че липсва информация. Като резултат и двете диаграми допускат всеки от четирите възможни случая за S и P – и двата термина да са празни (да няма нито S-ве, нито P-та); и двата да не са празни (да съществуват S-ове и P-та); единият да е празен, а другия – не (да съществуват S-ове, но не и P-та, и обратно). Това което първата диаграма не допуска (посредством защриховането на съответния сегмент) е да съществуват S-ове, които не са P-та, а това което не допуска втората диаграма, е да съществуват S-ове, които са P-та. Напротив, наличието на „x“ в диаграмите на двете частни твърдения показва, че частно-утвърдителното се ангажира със съществуването както на S-ове, така и на P-та, а частно-отрицателно – със съществуването S-ве, като остава неутрално по отношението на съществуването на P-та.

Както видяхме, в традиционната логика всяко от четирите категорични твърдения се ангажира със съществуването както на S-ове, така и на P-та . Резултат от тази разлика между съвременната и традиционната логика, е че за съвременната логика повечето отношения в логическия квадрат престават да са валидни и операцията обръщане представа да е валидна за общо-утвърдителните твърдения. Тъй като според съвременния възглед общите твърдения не се ангажират със съществуването на неща, които попадат под термините им, няма как от тях да следват съответните частни твърдения (от утвърдителното – утвърдително, от отрицателното – отрицателно), защото частните съдържат това, че поне единият от термините не е празен (частно-утвърдителното – и двата, частно-отрицателното – терминът на субекта). По този начин отношението на подчиненост в логическия квадрат спира да е валидно. Същото важи за отношението на противност. В традиционната логика се приема, че от истинността на едното от общите твърдения следва неистинност на другото, но за съвременната логика това не е така, защото и двете могат да са истинни, ако терминът на субекта е празен. Както изречението „Ако нещо е S, то е P“, така и изречението „Ако нещо е S, то не е P“ са съвместими с положение на нещата, в което S-ове не съществуват. Резултатът е, че от истинността или неистинността на общо-утвърдителното или общо-отрицателното твърдение не може да се каже нищо за истинността или неистинността на другото. Единственото отношение в логическия квадрат, което се запазва, е това по диагоналите – А-твърдението продължава да е точно отрицание на O-твърдението и E-твърдението – на I-твърдението. Това е така, защото, ако отречем, че сегментът на тези S, които не са P, е празен (това е начинът, по който отрицанието на А-твърдението се интерпретира с диаграма на Вен), това което всъщност казваме е, че въпросният сегмент има поне един елемент, т.е. че поне едно S не е P. По същия начин се вижда и че I-твърдението е отрицание на Е-твърдението.

Операцията обръщане спира да е валидна за А-твърденията по същата причина, поради която спира да е валидно отношението на подчиненост в логическия квадрат – А-твърдението не се ангажира със съществуването на S-ове или P-та, затова от него няма как да следва твърдение, което се ангажира със съществуването и двете („Съществува поне едно P, което е S“). Така операцията обръщане се променя по следния начин: Е и I-твърденията се обръщат съответно в Е и I-твърдения, а А и О-твърденията не могат да се обръщат.

Промяната в разбирането за категоричните твърдения в съвременната логика и при диаграмите на Вен води и до промяна в броя на валидните силогизми – от 24 те стават 15.2 Нека видим защо е така.

В едно единствено твърдение участват 2 термина, поради което в горните диаграми сегментите бяха 4 – по един за нещата, които са едновременно S и P, които са S, но не са P, … и т.н. В един силогизъм обаче участват 3 термина, поради което сегментите в диаграмите на Вен за силогизми и изобщо за изводи, в които участват 3 термина, са два пъти повече – 8. Тогава диаграмите на Вен приемат следния общ вид:

Кръговете на S, M и P са разположени по такъв начин, че да има сегмент за всеки от възможните комбинации за попадане на нещо под някой от термините, общо 8 на брой. Най-вътрешният сегмент отговаря на нещата, които са едновременно S, P и M. С него граничат три сегмента, които отговарят съответно на нещата, които са S и M, но не и P, М и P, но не и S, и S и P, но не и М. Граничещи с последните, и по-навън, са три сегмента, които отговарят на нещата, попадащи под единия термин, но не и под другите два. И накрая, пространството извън трите кръга отговаря на нещата, които не са нито S, нито M и нито P.

Ще използваме диаграма на Вен, за да проверим валидността на най-известния от силогизмите – Barbara (AAA-1):

MaP
SaM
SaP

Един извод е валиден, когато информацията, съдържаща се в заключението, е част от информацията, съдържаща се в предпоставките. Диаграмите на Вен дават възможност нагледно да се провери дали е така. В случая това става по следния начин. Първо, абстрахирайки се от кръга на S, представяме отношението между M и P, което отговаря на голямата предпоставка „MaP“ („Всяко M е P“). Както видяхме, това става като маркираме като празен сегментът на тези М, които не са P:

След това, добавяме информацията, съдържаща се във втората предпоставка „SaM“ („Всяко S е М“). Това става като маркираме като празен сегментът на тези S, които не са M:

Така в диаграмата е налице цялата информация, съдържаща се в предпоставките. Остава да видим дали в тази информация се съдържа това, което ни казва заключението „SaP“. Заключението би следвало от предпоставките, ако сегментът на тези S, които не са P, е празен. Диаграмата показва, че това е така, и че (както очаквахме) силогизмът е валиден.

Като следващ пример нека проверим валидността на Ferio (EIO-1):

MeP
SiM
SoP

Първата предпоставка „MeP“ („Нито едно М не е P“) се представя чрез защриховане на сегмента на тези M, които са P:

Втората предпоставка „SiM“ („Някои S са М“) се представя чрез поставяне на „x“ в сегментът на тези S, които са M. Част от този сегмент вече е обявена за празна от другата предпоставка, но другата част от него (тази, отговаряща на S-овете, които са М, но не са P) не е такава, така че слагаме „x“ в нея:

Това показва защо в диаграмите на Вен трябва да представяме първо общите предпоставки на един извод. Те обявяват определени сегменти за празни и ако представим първо частните предпоставки, има опасност изразяващото съществуване „x“ да се окаже в сегмент, който общите предпоставки да обявят за празен. При обратния ред няма такава опасност – след като общите предпоставки са определили кои сегменти са празни, ще сложим „x“-вете там, където това е възможно (ако не е възможно, значи предпоставките си противоречат).

От диаграмата се вижда, че сегментът на тези S, които не са P, не е празен. Следователно заключението „Някои S не са P“ се съдържа в предпоставките, т.е. силогизмът е валиден.

Нека видим сега защо определени, валидни за традиционната логика силогизми спират да бъдат такива. Такъв е например модус ААI от трета фигура (ААI-3):

MaP
MaS
SiP

Горната диаграма се получава след като маркираме като празни сегментите на тези M, които не са P, и на тези М, които не са S. По този начин информацията, съдържаща се в предпоставките, е въведена в диаграмата. За да е валиден силогизмът, в диаграмата трябва да се съдържа, че сегментът на тези S, които не са P, не е празен, т.е. в него трябва да има „x“. „x“ обаче няма и няма откъде да има, защото и двете предпоставки са общи, а „х“-овете идват от частните предпоставки. Следователно този силогизъм и всеки друг силогизъм с общи предпоставки и частно заключение е невалиден.

Валидните за традиционната логика силогизми, които не са валидни за съвременната логика, са точно тези, които имат две общи предпоставки и частно заключение. В таблицата отдолу са дадени всички валидни за традиционната логика силогизми, като тези от тях, които не са валидни за съвременната логика, са заградени в скоби.

I фигура II фигура III фигура IV фигура
AAA-1 EAE-2 (AAI-3) (AAI-4)
ЕАЕ-1 AEE-2 IAI-3 AEE-4
AII-1 EIO-2 AII-3 (EAO-4)
EIO-1 AOO-2 (EAO-3) IAI-4
(AAI-1) (EAO-2) EIO-3 EIO-4
(EAO-1) (AEO-2) OAO-3 (AEO-4)

Както се вижда, не са валидни тези и само тези силогизми, които имат две общи предпоставки и частно заключение. По този начин се получава, че докато за традиционната логика валидните силогизми са 24 – по шест във всяка от фигурите, то за съвременната логика валидните силогизми са 15 – по четири в първа, втора и трета фигура и три в четвърта. Всеки от валидните за традиционната логика, но невалидни за съвременната логика силогизми, би станал валиден и за последната, ако като допълнителна предпоставка се приеме принципът, че термините не са празни. Впрочем по-внимателният анализ показва, че всеки от въпросните силогизми с изключение на АЕО-4 би станал валиден, ако като допълнителна предпоставка се приеме само, че субектът на малката предпоставка (малкият термин в първа и втора фигура и средният в трета и четвърта) не е празен. За валидността на АЕО-4 е нужно да се приеме, че не е празен предикатът на малката предпоставка „MeS“.

Диаграмите на Вен могат да бъдат използвани и за проверка на валидността на съставени от категорични твърдения изводи, общият брой на термините в които е не три като при силогизмите, а четири. За да се получат обаче нужните 16 сегмента, е нужно внимателно чертане, подобно на това в долната диаграма.

Ако термините станат пет, вече не е възможно в равнината да се начертае диаграма от припокриващи се прости овални фигури, съдържаща нужните ни 32 сегмента.

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Докажете с диаграми на Вен, че следните силогизми са валидни:

1) EАЕ-1
2) AII-1
3) EIO-2
4) AOO-2
5) IAI-3
6) EIO-3
7) OAO-3
8) AEE-4
9) IAI-4


1. За логическия квадрат и операцията обръщане виж „2.1 Категорични твърдения“. 2. За силогизмите виж „2.2 Силогизми“.