3. Предикатна логика

3.1 Общи и единични термини

Пропозиционалната логика се занимава с тези логически отношения между твърденията, които зависят от логическите съюзи (конюнкция, дизюнкция, отрицание, импликация и еквивалентност). Твърденията, които не са съставени от по-прости твърдения посредством логически съюзи, в нея се разглеждат като структурно прости и се представят символно с букви за твърдения („p“, „q“, „r“,…). Съществуват обаче много изводи, чиято логическа валидност или невалидност зависи от логическата структура на тези „прости“ от гледна точка на пропозиционалната логика твърдения. Да разгледаме например следния логически валиден извод:

(1) Всички хора имат недостатъци.
Сократ е човек.
Сократ има недостатъци.

Предпоставките и заключението са твърдения, които не се състоят от други твърдения, затова от гледна точка на пропозиционалната логика те са прости и се представят символно с букви за твърдения. Като резултат на този логически валиден извод отговаря следната логически невалидна схема за извод на пропозиционалната логика, поради което за нея той би трябвало да не е валиден:

p
q
r

От значение за логическата валидност на (1) е думата „всички“, която е част от твърдението „Всички хора имат недостатъци“, но самата не е твърдение. За да може да анализира логически адекватно подобни изводи, логиката трябва да има средствата да представя символно подобни логически думи или изрази. Тази част от съвременната логика, която притежава въпросния логически инструментариум, се нарича предикатна логика. Предикатната логика съдържа в себе си пропозиционалната логика, така че всичко, което може да бъде направено с втората, може да бъде направено и с първата, но възможностите на първата са много по-големи. Всъщност предикатната логика е това което най-вече се разбира под „съвременна логика“.

За разлика от традиционната логика, където се говори просто за „термини“, от голямо значение в предикатната логика е разграничението между единични и общи термини1. Единичните термини са думи или изрази, които служат да обозначават неща. Такива са например всички собствени имена (например „Сократ“, „Джон Ленън“ и т.н.) Единични термини са също така наречените „определени описания“, като „най-високият връх на Земята“ или „президентът на България“2 – и двата израза служат да обозначат някакви неща. Единични термини са също различни изрази, съдържащи местоимения, като „тази врата“, „онзи човек отсреща“, „тя“ и т.н. Освен че обозначават за единичните термини се казва още, че реферират: изразът „най-високият връх на Земята“ реферира връх Еверест, „президентът на България“ реферира човека Росен Плевнелиев (в момента на писане на това изречение) и т.н. Това което прави единичните термини такива е функцията, която са предназначени да изпълняват в езика (да реферират обекти), а не това, дали успяват да изпълнят тази функция фактически, или не. Понякога те не успяват да обозначат нищо. Например собственото име „Пегас“ или определеното описание „най-голямото число“ не обозначават нищо, тъй като това, което се опитват да обозначат, не съществува.

От своя страна общите термини са такива думи или изрази, които не обозначават неща, а са истинни или неистинни за нещата. Те могат да бъдат съществителни имена („човек“), прилагателни имена („мъдър“), глаголи („спи“). Освен това могат да бъдат както отделни думи (като току що изброените), така и съставни изрази, като „наведе глава, отчаян и примирен“. (Същото впрочем важи и за единичните термини.) Общите термини се наричат още „предикати“ (оттам идва „предикатна логика“). Както вече казахме, характерно за предикатите е, че не обозначават определени неща, а са истинни или неистинни за всяко едно нещо. Така предикатът „философ“ е истинен за всички философи и е неистинен за хората, които не са философи, както и за нещата, които не са хора. Предикатът „спи“ е истинен за всичко което спи в момента и неистинен за всичко останало и т.н.

Освен общи термини, които са истинни или неистинни за нещата без оглед на други неща, като „човек“, „спи“ и т.н., има и общи термини, които са истинни или неистинни за два предмета взети заедно в определен ред, т.е. за един предмет по отношение на друг. Например предикатът „по-голям“ е истинен за София по отношение на Варна (или, иначе казано, за двойката, съставена от София и Варна) и неистинен за София по отношение на Париж (двойката, състояща се от София и Париж). Редът на нещата в двойките е важен, затова те се наричат „наредени двойки“. Например терминът „учител на“ е истинен за наредената двойка (Платон, Аристотел), защото Платон е учител на Аристотел, но не е истинен за наредената двойка (Аристотел, Платон), защото Аристотел не е учител на Платон. Има общи термини, които са истинни или неистинни за наредени тройки, наредени четворки и т.н. от неща. Например, ако приемем, че твърдението „Отело ревнува Дездемона от Касий“ е истинно, то общият термин „… ревнува … от …“ ще е истинен за наредената тройка (Отело, Дездемона, Касий). Съответно, ако твърдението „Иван даде коня си на Петър в замяна на неговата крава“ е истинно, то общият термин „… даде … на … в замяна на …“ ще истинен за наредената четворка (Иван, коня на Иван, Петър, кравата на Петър). Общите термини, които са истинни или неистинни за едно нещо, понякога се наричат „абсолютни общи термини“, или „термини за свойства“, а тези, които са истинни или неистинни за наредени двойки, тройки и т.н. от неща – „релативни общи термини“, или „термини за отношения“. Ще наричаме първите още „едноместни предикати“, а вторите – съответно „двуместни“, „триместни“,… и т.н. „предикати“ (събирателно – „многоместни предикати“).

Разликата между единични и общи термини понякога може да е тънка. Често тя се свежда само до употребата на определителен член. Например изразът „приятел на Мария“ е общ термин, а изразът „приятелят на Мария“ (или „приятеля на Мария“) е единичен термин. Логическата функция на първия израз е да е истинен или неистинен за нещата, докато на втория е да обозначи определено нещо. „Приятел на Мария“ ще продължи да е общ термин, дори ако Мария има един единствен приятел или няма никакви приятели. По същия начин „майка на Мария“, за разлика от „майката на Мария“, е общ термин, въпреки че не е възможно Мария да има повече или по-малко от една майка. Това, за колко неща е истинен един общ е термин – дали е за нула, за едно или за повече – както и това, дали един единичен термин успява да обозначи нещо, или не, не е от значение в логиката. От значение е само каква е функцията, или предназначението на израза. За логиката не е важно фактическото положение на нещата в света – тя се отнася до всички възможни светове, не само до нашия.

В предикатната логика се използват различни видове символи за единичните термини, от една страна, и за общите, от друга. Ще представяме символно единичните термини с малки латински букви („a“, „b“, „c“,…), които ще наричаме „индивидни константи“, а общите термини – с големи латински букви, обикновено започващи от „F“ нататък („F“, „G“, „H“,…), които ще наричаме „букви за предикати“.

Прости твърдения, като „Сократ е човек“, „Залезът е червен“, „Това куче спи“ и т.н., се представят символно чрез буква за предикат, последвана от индивидна константа. Например, ако представим символно предиката „човек“ с „F“ и единичния термин „Сократ“ – с „a“, твърдението „Сократ е човек“ ще бъде представено символно с „Fa“.

С „F“, „G“, „H“,… се представят символно не само едноместни, но и многоместни предикати. Например, ако представим двуместния предикат „уби“ с „F“ и единичните термини „Брут“ и „Цезар“ – съответно с „b“ и „с“, твърдението „Брут уби Цезар“ ще се представи символно с „Fbc“. По същия начин, ако представим предиката „ревнува“ с „G“, „Отело“ – с „a“, „Дездемона“ – с „b“ и „Касий“ – с „c“, твърдението „Отело ревнува Дездемона от Касий“ ще се представи символно с „Gabc“.

Твърдения като горните, които са образувани чрез свързване на (едноместен или многоместен) предикат с единични термини (един или повече), се наричат атомарни твърдения. Съответно, символните им представяния се наричат атомарни формули.

Добре е местата в предикатите, където би могъл да стои единичен термин, да бъдат ясно показвани и именувани по някакъв начин. За тази цел ще използваме цифри, заградени с квадратни скоби („[1]“, „[2]“, „[3]“,… ). Така вместо за предиката „човек“, ще говорим за предиката „[1] е човек“, вместо за „уби“ – за „[1] уби [2]“, вместо за „ревнува“ – за „[1] ревнува [2] от [3]“ и т.н. Оградените цифри обозначават празните места в предикатите, където, ако се поставят единични термини, ще се получи изречение. Наличието на такова обозначаване е наложително, когато представяме символно многоместни предикати. Нека видим с пример защо е така. Искаме да представим символно твърдението „Точката A е между точките B и C“. За целта решаваме да представим триместния предикат „между“ с „F“ и да обозначим точките A, B и C съответно с индивидните константи „а“, „b“ и „с“. Тогава съществуват поне два различни начина, по които можем да представим символно това твърдение – един път с „Fаbс“ и втори път с „Fbас“. В първия случай сме се ръководили от поредността, в която единичните термини „точката А“, „точката B“ и „точката C“ се срещат в представяното твърдение – по същия начин във формулата „a“ е на първо място, след това e „b“ и накрая е „c“. Във втория случай сме се ръководили от смисъла на представяното твърдение – понеже то ни казва, че точката A е между точките B и C, в символното представяне „a“ стои между „b“ и „c“. И двата начина са допустими – в крайна сметка единственото правило при символното представяне на атомарните твърдения, което сме възприели дотук, е буквата за предикат да стои преди индивидните константи и както „Fаbс“, така и „Fbас“ отговарят на това правило. Нужно е обаче в подобни случаи да разполагаме с принципен начин да посочваме кой от възможните начини за символно представяне сме избрали. За целта ще се възползваме от цифрите в квадратните скоби – освен че (заедно с квадратните скоби) именуват празните места в предикатите, те ще отговарят на поредността на индивидните константи в символния израз. Така, ако твърдението

A e между B и C

е представено символно с „Fаbс“, то „F“ представя символно предиката „[1] е между [2] и [3]“, а ако същото твърдение е представено символно с „Fbас“, то „F“ представя символно предиката „[2] е между [1] и [3]“. Цифрите показват поредността след „Fв символния израз. В първия случай сме избирали индивидната константа, обозначаваща нещото, за което казваме, че е между другите две, да стои на първо място след „F“ в символния израз. Във втория случай, сме избрали индивидната константа, обозначаваща нещото, за което казваме, че е между другите две, да стои на второ място след „F“ в символния израз. Имаме свободата да изберем както единия, така и другия начин за символно представяне, но след като сме избрали единия от начините, „Fаbс“ и „Fbас“ стават много различни твърдения. Ако не използваме номерирани цифри за празните места в предиката, а просто кажем, че „F“ означава „между“, няма да е ясно кой от възможните начини за символно представяне сме избрали и символното представяне на твърдението ще е двусмислено. По същия начин бихме могли да представим с „F“ както „[1] уби [2]“, така и „[2] уби [1]“. В първия случай „Брут уби Цезар“ ще се представи символно с „Fbc“ („b“ – „Брут“, „c“ – „Цезар“), a във втория – с „Fcb“. Тук изглежда по-естествен първият начин за символно представяне, но нищо не пречи да използваме и втория. В зависимост от това, кой от двата начина сме избрали, „Fbc“ ще представя две различни твърдения – толкова различни, колкото е различно дали Брут е убил Цезар, или Цезар е убил Брут. Така че оттук нататък ще се придържаме към практиката да номерираме празните места в предикатите, когато определяме с коя буква за предикат ще ги представяме символно, като цифрите ще отговарят на поредността в редицата от индивидни константи след буквата за предикат в символния израз.

След като вече можем да представяме символно атомарни твърдения, можем да представяме символно и съставни твърдения, които са получени от атомарни посредством логически съюзи. Ето два примера:

Или Ана се сърди на Борис, или Борис се сърди на Ана.
FabFba
F – [1] се сърди на [2]
а – Ана
b – Борис

Ако Борис не е поздравил Ана, то тя му се сърди.
¬GbaFab
F – [1] се сърди на [2]
G – [1] е поздравил [2]
а – Ана
b – Борис

Примерите ясно показват задълбочаването на логическия анализ в сравнение с пропозиционалната логика. В рамките на пропозиционалната логика щяхме да представим двете твърдения например с „pq“ и „¬rp“ (където „p“ отговаря на „Ана се сърди на Борис“, „q“ – на „Борис се сърди на Ана“ и „r“ – на „Борис е поздравил Ана“). При символното представяне в момента твърденията има същата обща форма, но анализът е навлязъл във вътрешната логическа структура на простите твърдения („p“, „q“ и „r“), която пропозиционалната логика не анализира.

Добре е при символното представяне да се стремим да експлицираме максимално логическата форма на твърденията. Така например, ако при второто изречение бяхме представили с „G“ предиката „[1] не е поздравил [2]“ вместо предиката „[1] е поздравил [2]“, антецедентът на импликацията „Борис не е поздравил Ана“ щеше да се представи с „Fba“ вместо с „¬Fba“. Тогава логическата форма на цялото твърдение нямаше да е максимално експлицирана, защото антецедентът в него има формата на отрицание – нещо, което нямаше да се вижда в символния израз. Това обаче може да е от значение за правилното определяне на логическата валидност на изводи, от които това твърдение е част.

Ето още няколко примера на символно представяне на твърдения, получени чрез свързване на две или повече атомарни твърдения с логически съюзи:

Ако Папата е човек, той не е безгрешен.
Fa → ¬Ga
F – [1] е човек
G – [1] е безгрешен
а – Папата

Ако Борис се е изчервил, той е чул забележката на Ана.
FbGba
F – [1] се е изчервил
G – [1] е чул забележката на [2]
а – Ана
b – Борис

Борис укорява самия себе си и се ненавижда.
FbbGbb
F – [1] укорява [2]
G – [1] ненавижда [2]
b – Борис

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Общи или единични са следните термини:

1) по-възрастен от Иван
2) министър-председател на България
3) познат на министър-председателя на България
4) дебелият мъж на вратата
5) България
6) убиец на президента на Съединените щати
7) приятелят на Ана
8) приятеля на Ана
9) приятел на Ана

(2) Представете символно следните твърдения, като навсякъде посочвате какво с какво сте означили:

1) Игуменът на манастира е стар и мъдър.
2) Алкивиад уважава Сократ.
3) Петър и Иван се мразят.
4) Мария не уважава Петър, но уважава Иван.
5) Това, което каза сега, е похвално, но това, което каза по-рано, не е.
6) Ромео и Жулиета са влюбени един в друг.
7) Петър и Иван са братя съответно на Ана и Мария.
8) Ана е хубава, но Мария е по-хубава от нея.
9) Спасителят намери детето премръзнало и обезводнено.
10) Макар че Ана и Борис се обичат, те се нараняват взаимно.
11) Едип е едновременно син и мъж на Йокаста, а тя му е едновременно майка и жена.
12) Мария е младата и красива, но не и щастлива жена на Петър.
13) Ако Петър не е купил тази кола от Иван, той я е купил от Павел.
14) Витоша е по-висока от Стара планина, но и двете са по-ниски от Рила.
15) Ако езерото е на запад от планината, а селото е на запад от езерото, то планината е на изток от селото.
16) Борис не е нито син, нито брат на Ана, но тя го обича повече от себе си.
17) Ако Иван не е познал този човек, то или има слаба памет, или не го е срещал.
18) Ако Петър уважава самия себе си, той няма да излъже нито семейството, нито приятелите си.
19) Ако Иван не е заедно с жена си, той се чувства самотен, а ако е заедно с нея, тя му досажда.
20) Дядото размени кравата за две кокошки, а тях размени за торба сливи, но бабата не му се разсърди нито за кравата, нито за кокошките.


1. Наричат се още „сингуларни“ и „генерални термини“. 2. Или „най-високия връх на Земята“, съответно „президента на България“ – разликата между пълен и непълен член е граматическа, не логическа.