3.3 Възможностите на езика на предикатната логика

Разлики между предикатната и традиционната логика

В традиционната и в съвременната (т.е. в предикатната) логика думата „предикат“ се разбира по различен начин. За традиционната логика предикат е терминът, който се утвърждава или отрича за субекта в едно категорично твърдение.1 За съвременната логика „предикат“ е синоним на „общ термин“2. Втората употреба е по-широка от първата, защото всеки предикат за традиционната логика е предикат и за съвременната, но не и обратно. Това е така, тъй като предикатът (за традиционната логика) на едно категорично твърдение винаги е общ термин (т.е. предикат в съвременния смисъл), но когато е общ термин, субектът на едно категорично твърдение не се нарича „предикат“ в традиционната логика.

Друга разлика между традиционната и съвременната логика е, че термините в едно категорично твърдение (субектът и предикатът) са винаги общи термини за съвременната логика, докато за традиционната логика субектът може и да е единичен термин. Причината е, че твърдения като „Сократ е философ“ или „Сократ не е политик“ се анализират по съвсем различен начин от двете. Традиционната логик ги разглежда като общо-утвърдително и общо-отрицателно твърдение3, докато за съвременната логика това не са категорични, а атомарни твърдения, т.е. твърдения, които имат формата на свързване между общ и единичен термин4. Разликата е следствие от това, че в традиционната логика не се прави разграничение между общи и единични термини (говори се просто за „термини“), докато разграничението е ключово за символния език на предикатната логика.

Друга разлика, която разгледахме подробно в „2.4 Диаграми на Вен“, е, че в традиционната логика мълчаливо се предпоставя, че и двата термина в едно категорично твърдение (субектът и предикатът) не са празни. В предикатната логика не е така – за нея както субектът в общо-утвърдителното и общо-отрицателното, така и предикатът в общо-утвърдителното, общо-отрицателното и частно-отрицателното твърдение могат да бъдат празни. Тази разлика има значителни следствия5. Едно от тях е, че почти всички отношения в традиционния логически квадрат престават да бъдат валидни за съвременната логика – в частност отношенията на противност и подчиненост. Запазва се единствено отношението на противоречивост (диагоналите на квадрата). Друго следствие е, че се променя операцията обръщане – общо-утвърдителните твърдения вече не могат да се обръщат. Трето следствие е, че броят на валидните силогизми намалява – от 24 те става 15, защото тези валидни за традиционната логика силогизми, които имат общи предпоставки и частно заключение, спират да са валидни за съвременната логика.

Предимства на езика на предикатната логика

Категоричните твърдения са основен вид твърдения и откриването им за логиката от Аристотел е постижение на традиционната логика. Нейният логически инструментариум обаче не позволява да бъдат анализирани термините им (субекта и предиката), когато не са прости и имат някаква логическа структура. Такова е например твърдението

(1) Всички хищници, които живеят във водата, са или риби, или бозайници.

То е общо-утвърдително и за традиционната логика субектът му е терминът „хищник, който живее във водата“, а и предикатът му е „риба или бозайник“. Съответно в традиционната логика то би било представено символно с „SaP“. Този анализ не е грешен, но не е достатъчно пълен, защото субектът и предикатът са представени символно така, както биха били представени някакви прости термини. Те обаче не са такива, защото всеки от тях съдържа два други термина. Субектът съдържа термините „хищник“ и „живеещ във водата“, а предикатът – „риба“ и „бозайник“. Логическият проблем от това е, че тези четири по-прости термина биха могли да участват в други твърдения, които в комбинация с (1) да имат определени логически следствия. (Например от (1) и твърдението „Някой хищници, които живеят във водата, не са риби“ логически следва твърдението „Някой хищници, които живеят във водата, са бозайници“.) При това символно представяне обаче за тези следствия няма да може да бъде показано, че са логически валидни, тъй като в символното представяне на (1) по-простите термини липсват. Средствата за логически анализ на предикатната логика позволяват тези по-прости термини да бъдат част от символното представяне на (1). Нека видим как. Тъй като (1) като цяло има формата на общо-утвърдително твърдение, използваме стандартния начин за символно представяне на такива твърдения в предикатната логика6 и като първа стъпка трансформираме (1) в следния полу-символен израз:

(2) x[(x е хищник, който живее във водата) → (x е риба или бозайник)]

(2) ни казва, че каквото и нещо да вземем, ако то е хищник, който живее във водата, то ще е риба или бозайник. Като следваща стъпка се насочваме към символното представяне на съдържащото се в (2) отворено изречение „x е хищник, който живее във водата“. Това е конюнкция между две прости отворени изречения – „x е хищник ∧ x живее във водата“. Ако представим символно предикатът „[1] е хищник“ с „F“ и „[1] живее във водата“ с „G“, тази конюнкция се превръща в „FxGx“ и (2) приема вида

(3) x[(FxGx) → (x е риба или бозайник)]

Сега се насочваме към отвореното изречение „x е риба или бозайник“. То е дизюнкция между две прости отворени изречения – „x е риба ∨ x e бозайник“. Представяйки символно предиката „[1] е риба“ с „H“ и „[1] е бозайник“ с „I“ получаваме следното окончателно, вече напълно символно представяне на началното твърдение, в което четирите по-прости предикати присъстват като буквите „F“, „G“, „H“ и „I“:

x[(FxGx) → (HxIx)]

Добре е да използваме току що демонстрирания начин за символно представяне на изречения, които като цяло имат формата на категорични твърдения, но вътрешната им логическа структура е по-сложна. Постепенното, все по-символно представяне ни дава възможност да разделим задачата по представянето на по-прости подзадачи и по този начин ни улеснява в толкова по-голяма степен, колкото е по-сложно представяното твърдение.

Да разгледаме следния логически валиден извод:

Всички окръжности са фигури.
Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура.

През 17 век немският математик, логик и философ Йоахим Юнгиус (Jungius, 1957) обръща внимание на това, че въпреки очевидната му логическа валидност този извод не може да бъде анализиран като валиден от традиционната логика. Предпоставката и заключението са общо-утвърдителни категорични твърдения, но докато субектът и предикатът на предпоставката са прости термини, тези на заключението са съставни. Проблемът е, че традиционната логика не може да представи символно логическата структура на субекта и предиката на заключението, които съдържат в себе си термините на субекта и предиката на предпоставката, в резултат на което логическата връзка между двете твърдения се губи. В символиката на традиционната логика изводът би приел следния вид:

S1aP1
S2aP2

В това символно представяне има четири различни термина (S1, S2, P1, P2), между които липсва връзка, която да обоснове логическото следване между двете съдържащи ги твърдения.

Валидността на този извод не е проблем за предикатната логика. Предпоставката „Всички окръжности са фигури“ е едно просто А-твърдение, което представяме по стандартния начин („F“ отговаря на „окръжност“, а „G“ – на „фигура“):

x (FxGx)

Заключението е по-сложно твърдение, поради което ще си послужим с демонстрирания по-горе начин за постепенно, все по-символно трансформиране на едно изречение от естествения език в символния език на предикатната логика. „Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура“ е едно общо-утвърдително твърдение (това става очевидно, когато го перифразираме с „Всеки чертаещ окръжност е чертаещ фигура“). Като първа стъпка, използвайки стандартния начин за символно представяне на А-твърденията, получаваме:

(4) x (x чертае окръжност → x чертае фигура)

Като следваща стъпка се насочваме към отвореното изречение „x чертае окръжност“. Тук има премълчан неопределителен член – „x чертае (една, някаква) окръжност“. В „3.2 Квантори и променливи“ видяхме, че при символното представяне на такива изречения се използва екзистенциален квантор. Тъй като този квантор ще бъде в обхвата на универсалния квантор „∀x“ в началото на (4), ще използваме различна от „x“ променлива – например „y“. „x чертае (една, някаква) окръжност“ се представя (все още полу-символно) по следния начин:

y (y e окръжност ∧ x чертае y)

Буквално: „има нещо, което е окръжност и което x чертае“. „[1] окръжност“ вече представихме с „F“. За двуместния предикат „[1] чертае [2]“ ще използваме „H“. Така за отвореното изречение „x чертае (една, някаква) окръжност“ получаваме следното (вече напълно символно) представяне:

(5) y(FyHxy)

По напълно аналогичен начин (като заменим „F“ – „окръжност“, с „G“ – „фигура“) другото отворено изречение в (4)x чертае (една, някаква) фигура“ се представя символно с

(6) y(GyHxy)

(„Има някакво y, което е фигура (G) и което x чертае (H).“) Накрая, като заместим в (4) двете отворени изречения – „x чертае окръжност“ и „x чертае фигура“ – със символните им представяния (5) и (6), получаваме следното символно представяне на твърдението „Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура“:

(7) x [∃y(FyHxy) → ∃y(GyHxy)]

Окончателното символно представяне на извода

Всички окръжности са фигури.
Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура.

в езика на предикатната логика е следното:

x(FxGx)
x[ ∃y(FyHxy) → ∃y(GyHxy) ]

Тук, за разлика от символното му представяне в традиционната логика, между предпоставката и заключението е налице необходимата връзка, осигурявана от повтарящите се букви за предикати „F“ и „G“, отговарящи съответно на предикатите „окръжност“ и „фигура“, които участват както в предпоставката, така и в заключението. По-нататък ще въведем доказателствена процедура, чрез която за всеки логически валиден извод ще може да бъде доказано, че е такъв, включително и за горния.

Универсум на дискурса

(7) е символното представяне на твърдението „Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура“. Строго погледнато обаче това символно представяне ни казва нещо по-различно – „Всяко нещо, което чертае окръжност, чертае фигура“. Това е така, защото в общия случай, ако не сме се разбрали специално да не е така, променливите на кванторите се отнасят до всичко съществуващо и съответно универсалният квантор „∀x“, с който (7) започва, има смисъла на „За всяко нещо важи, че …“, а не „За всеки (човек) важи, че …“. В „3.2 Квантори и променливи“ видяхме как, чрез добавяне на допълнителна буква за предикат, отговаряща на „[1] е човек“, символното представяне на твърдението би могло да бъде променено така, че да отговаря на смисъла му. Алтернативно обаче бихме могли да ограничим областта от обекти, до които се отнасят кванторите. Такова ограничаване съответства на факта, че често пъти дискусията е ограничена до определена област от неща. Например, когато помежду си говорят математици, предметът на разговора, а от там и съвкупността от нещата, до които се отнасят изказваните универсални или екзистенциални твърдения, често пъти са ограничени до реалните числа, до геометричните фигури и т.н. По същия начин разговорът между биолози не рядко е ограничен до растенията, до определен вид растения и т.н. Съвкупността от нещата, за които става въпрос, се стеснява още повече в различни контексти на всекидневния език. Когато изказваме изречения като „Всеки е съгласен с това“, това „всеки“ най-често е ограничено не просто до хората, а до определена група от хора – например до хората, които присъстват, или до тези, които са запознати с дискутираната тема, и т.н. Във връзка с това ограничаване на нещата, за които се говори, се въвежда понятието универсум на дискурса. Това е множеството от нещата, върху които пробягват променливите на екзистенциалните и универсалните квантори в едно изречение. Ще го означаваме с „D“. Например в Хераклитовото „Всичко се променя“ универсумът на дискурса изглежда напълно неограничен, включвайки в себе си всичко съществуващо. Напротив, изречението „Всеки се променя“ е естествено да бъде интерпретирано като универсално твърдение с универсум на дискурса, ограничен до множеството на хората.

При символното представяне на твърденията ще можем да ограничаваме универсума на дискурса D, така че да включва само част от нещата. Когато правим това, ще посочваме изрично кое точно e множеството D. Ако, както беше досега, не посочваме определен универсум на дискурса, ще подразбираме, че той включва всички неща.

Ограничаването на универсума на дискурса опростява символното представяне, тъй като намалява с една използваните букви за предикати – буква, която иначе би представяла символно предикат, чиито обем е универсумът на дискурса, например „човек“, ако универсумът на дискурса са хората. Всяко твърдение, което е представено символно с ограничаване на универсума на дискурса, може да се представи символно и без такова ограничаване, като се перифразира така, че самото то да ограничава нещата, за които говори. Например, при символното представяне на твърдението „Някой уважава Сократ“, бихме могли да ограничим универсума на дискурса D върху хората и тогава символното му представяне би било

xFxa

където „F“ представя „[1] уважава [2]“, a „а“ – „Сократ“. Същото твърдение обаче би могло да се представи символно и без ограничаване на универсума на дискурса, като се перифразира с изречението „Съществува нещо, което е човек и което уважава Сократ“. То има същия смисъл като предишното изречение, но се представя с

x(GxFxa)

където „G“ отговаря на предиката „човек“, чиито обем съвпада с универсума на дискурса при предишното представяне. Изобщо всяко екзистенциално твърдение „∃x(…x…)“, при което универсумът на дискурса е ограничен до някакво множество, което е обем на някакъв предикат, би могло да се представи символно без такова ограничаване с „∃x(Gx ∧ …x…)“, където „G“ (или друга буква) представя символно въпросния предикат. Вижда се, че ограничаването на универсума на дискурса опростява символното представяне, като намалява с една използваните букви за предикати – „G“ в примера.

По същия начин стоят нещата и ако твърдението не е екзистенциално, а универсално –например „Всеки уважава Сократ“. Ограничаването на универсума на дискурса до хората позволява това твърдение да бъде представено с

xFxa

където, както по-горе, „F“ отговаря на „уважава“, а „а“ – на „Сократ“. В същото време, като го перифразираме с „За всяко нещо важи, че ако е човек, то уважава Сократ“, виждаме какво трябва да е символното представяне, ако универсумът на дискурса не е ограничен:

x(GxFxa)

G“ отново е „човек“. Изобщо всяко универсално твърдение, което е представено символно с „∀x(…x…)“, като универсумът на дискурса е ограничен до някакво множество, което е обем на някакъв предикат, се представя символно без ограничаване на универсума на дискурса с „∀x(Gx → …x…)“, където „G“ (или друга буква) представя символно въпросния предикат.

Твърдения, които не са представими в традиционната логика

По-горе разгледахме примери на категорични твърдения („Всички хищници, които живеят във водата, са или риби, или бозайници“, „Всеки, който чертае окръжност, чертае фигура“), които не могат да бъдат представени символно достатъчно добре от традиционната логика, тъй като логическият ѝ апарат не позволява да бъде анализирана логическата форма на съставните термини (общи или единични). Има и други видове твърдения, които не просто не могат да бъдат представени достатъчно добре, а изобщо не могат да бъдат представени от традиционната логика. Такива са твърденията за отношения, които са мнозинство в природните науки и математиката (твърдения, в които се говори за по-голямо, по-малко, привличане, триене и т.н.). Да разгледаме например следния валиден извод:

Всички тела се привличат.
а и b са тела.
b привлича a.

Традиционната логика тук е напълно безпомощна, защото в нея не може да се представи символно, т.е. не може да се анализира логическата форма на нито едно от съдържащите се в този извод твърдения. Никое от тях не е категорично. В първата предпоставка и в заключението става дума за отношения, а втората предпоставка има формата на конюнкция. Представянето на този извод не е проблем за символния език на предикатната логика. „Всички тела се привличат“ се перифразира с изречението „Каквито и две неща да вземем, ако те са тела, то първото привлича второто и второто привлича първото“. Ако „F“ представя символно двуместния предикат „[1] привлича [2]“, а „G“ – едноместния предикат „[1] е тяло“, буквалният превод на последното изречение в езика на предикатната логика е

xy [(GxGy) → (FxyFyx)]

(„Каквото и x, и каквото и y да вземем, ако x и y са тела, то x привлича y и y привлича x“). Представянето на втората предпоставка и на заключението е съвсем лесно. За целия извод получаваме следното:

xy [(GxGy) → (FxyFyx)]
GaGb
Fba

Предстои да въведем доказателствената процедура, с която лесно се доказва, че тази схема за извод е логически валидна.

Друг вид твърдения, който не могат да бъдат анализирани логически от традиционната логика (т.е. които не могат да бъдат представени символно в нея), са тези, в които има множествена квантификация, т.е. в които квантор е обхвата на друг квантор. Да разгледаме следния пример. Ако ограничим универсума на дискурса върху хората и поставим пред отвореното изречение „y обича x“ екзистенциалния квантор „∃у“, ще получим отвореното изречение „∃у(y обича x)“, което има значението на „х е обичан от някого“ (буквално „Има някакъв човек, който обича х“). След това, ако поставим пред изразa универсалния квантор „∀х“, ще получим изречение, в което няма свободни променливи, т.е. което е твърдение:

ху(y обича x)

Това е твърдението „Всеки e обичан от някого“ (буквално „За всеки х съществува у, който обича х“). Като представим предиката „[1] обича [2]“ с „F“, чисто символното представяне на това твърдение ще бъде

(8) хуFyx

Нека видим какво ще стане, ако разменим местата на кванторите:

(9) ухFуx

Смисълът на (9) вече не е, че всеки е обичан от някого (различен за различните хора), а че някой обича всички. Изразът „∀xFyx“ ни казва „Всеки e обичан от у“ (буквално „За всеки x важи, че y го обича“), така че, слагайки пред него „∃y“, получаваме „Съществува такъв човек, че всеки e обичан от него“, или накратко „Някои обича всички“.

(8) и (9) са съвсем различни твърдения. Първото би могло да е истинно (можем да си представим, например, че всеки е обичан от майка си), докато (9) трудно би могло да е истинно. Разликата между тях се вижда още по-добре, ако сменим универсума на дискурса от множеството на хората на множеството на числата и интерпретираме „F“ като „[1] е по-голямо от [2]“ вместо „[1] обича [2]“. Тогава (8) се превръща в истинното твърдение „От всяко число има по-голямо“ (буквално „Каквото и число x да вземем, съществува число y, което е по-голямо от x“), a (9) – в неистинното твърдение „Има число, което е по-голямо от всяко число“ (буквално „Съществува такова число y, че каквото и число x да вземем, у ще е по-голямо от x“). Може да се покаже, че всяко твърдение с формата на (8) следва логически от (9), а това, че (9) не следва от (8), е ясно, тъй като току що намерихме случай, при който второто е истинно, а първото не.

Въпреки че смисълът на (8) и (9) е различен, ако се върнем на интерпретацията с хората и обичането, ще видим, че и двете твърдения биха могли да бъдат изразени на всекидневен език с изречението „Всеки е обичан от някого“. В случая на (8) се има предвид, че този „някого“ е различен за различните хора, докато при (9) се има предвид, че е един и същ за всички хора. Това е пример за несъвършенствата на естествените езици, които лесно допускат двусмислености. Една допълнителна полза от предикатната логика (различна от чисто логическата полза, свързана с въпросите за логическата валидност) е премахването на двусмисленостите в естествените езици, след като твърденията им се преведат на нейния изкуствен символен език. Ползата от съвременната логика за изясняването на смисъла на изреченията и изразите е особено важна за философията.

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Представете символно следните изречения, като използвате означенията:

1) Всеки минерал с твърдост над 8 е скъпоценен. F – [1] е минерал, G – [1] има твърдост над 8, H – [1] е скъпоценен
2) Не всички бедни хора са нещастни. F – [1] е беден, G – [1] е човек, H – [1] е нещастен
3) Борис е взел на заем книга от Иван, но не му я е върнал. F – [1] е книга, G – [1] е взел на заем [2] от [3], H – [1] е върнал [2] на [3], b – Борис, i - Иван
4) Скъпите камъни или имат голяма твърдост, или се срещат рядко. F – [1] е скъпо, G – [1] е камък, H – [1] има голяма твърдост, I – [1] се среща рядко
5) Някой е ударил или обидил брата на Мария. F – [1] е ударил [2], G – [1] е обидил [2], a – брата на Мария; D – хората
6) Иван е автор на книга, която се продава добре. F – [1] е автор на [2], G – [1] е книга, H – [1] се продава добре, i – Иван
7) Борис има хубава жена, но тя го мрази. F – [1] е женен за [2], G – [1] е хубав, H – [1] мрази [2], b – Борис; D – хората
8) Мария не запозна Иван с всеки от приятелите си. F – [1] запозна [2] с [3], G – [1] е приятел на [2], m – Мария, i – Иван
9) Мария не запозна Иван с когото и да е от приятелите си. (като предишното)
10) Животните, които дебнат през нощта, обичат да съзерцават Луната.7 F – [1] е животно, G – [1] дебне през нощта, H – [1] обича да съзерцава [2], a – Луната;
11) Всяко животно, което обича да съзерцава Луната, е подходящо за домашен любимец. F – [1] е животно, G – [1] е подходящо за домашен любимец, H – [1] обича да съзерцава [2], a – Луната
12) Мразя животни, които не ме харесват. F – [1] е животно, G – [1] мрази [2], H – [1] харесва [2], a – аз
13) Котките са единствените животни в тази къща. F – [1] е животно, G – [1] е котка, H – [1] живее в [2], a – тази къща
14) Никое животно не ме харесва, освен животните, които живеят в тази къща. F – [1] е животно, G – [1] ме харесва, H – [1] живее в [2], a – тази къща
15) Едно животно не е месоядно освен ако не дебне през нощта. F – [1] е животно, G – [1] е месоядно, H – [1] дебне през нощта
16) Иван подари книга на всеки от приятелите си. F – [1] подари [2] на [3], G – [1] е книга, H – [1] е приятел на [2], i – Иван
17) Всички глави на хора са глави на животни.8 F – [1] е глава на [2], G – [1] е човек, H – [1] е животно
18) Всяко нещо е по-голямо от нещо. F – [1] е по-голямо от [2]
19) Има нещо, от което всичко е по-голямо. (като предишното)
20) Всеки харесва някой, който харесва Сократ. F – [1] харесва [2], a – Сократ; D – хората
21) Има някой, който харесва всички, които не харесват себе си. (като предишното)
22) Никой не харесва някой, който не харесва никой. (като предишното)
23) Има книги, които всички читатели харесват. F – [1] е книга, G – [1] е читател, H – [1] харесва [2]

(2) В предишната задача следните примери бяха представени с ограничаване на универсума на дискурса. Сега ги представете без такова ограничаване.

1) Някой е ударил или обидил брата на Мария. F – [1] е ударил [2], G – [1] е обидил [2], H – [1] е човек, a – брата на Мария
2) Борис има хубава жена, но тя го мрази. F – [1] е женен за [2], G – [1] е хубав, H – [1] мрази [2], I – [1] е човек, b – Борис
3) Всеки харесва някого, който харесва Сократ. F – [1] харесва [2], H – [1] е човек, a – Сократ
4) Има някой, който харесва всички, които не харесват себе си. (като предишното)
5) Никой не харесва някой, който не харесва никой. (като предишното)


1. За категоричните твърдения виж „2.1 Категорични твърдения“. 2. За разликата между общи и единични термини виж „3.1 Общи и единични термини“. 3. Защо е така виж „2.1 Категорични твърдения“. 4. За атомарните твърдения виж „3.1 Общи и единични термини“. 5. По-подробно за тях виж в „2.4 Диаграми на Вен“. 6. За стандартния начин на символно представяне на категоричните твърдения в предикатната логика виж „3.2 Квантори и променливи“. 7. Този и следващите пет примера са на Луис Карол (Carroll, 1897). 8. Примерът е на Де Морган (De Morgan, 1847).