3.6 Равенство и определени описания

Понятието за идентичност

Знакът за равенство („=“) изразява идентичност (тъждество). Твърдението „a=a“ ни казва, че предметът a е идентичен със (един и същ е, не е различен от) самия себе си; „a=b“ – че a и b са всъщност едно и също нещо; „∀х(х=х)“ – че всяко нещо е идентично със себе си; „∃х(х=а)“ – че има нещо, което е идентично с а, т.е. че а съществува; и т.н.

Oтляво или отдясно на знака за равенство може да стои индивидна константа или индивидна променлива – константите и променливите са двата вида символи в езика на предикатната логика, с които се обозначават неща (предикатите не обозначават).

a и b са две различни неща, когато не са идентични: ¬(a=b). За по-кратко вместо „¬(a=b)“ ще пишем „аb“, т.е. „…≠…“ е съкращение за „¬(…=…)“.

Добавянето на равенството към езика на предикатната логика става чрез добавяне по едно ново правило към синтаксиса и семантиката ѝ1. Синтактичното правило е,че ако i и j са индивидни константи или индивидни променливи (едното може да константа, а другото променлива), то „i=j“ е правилно-образуван израз (формула). Семантичното правило (което както останалите семантичните правила се формулира по отношение на някаква структура, състояща се от универсум на дискурса, интерпретация и даване на стойности на променливите) е, че „i=j“ има стойност И в структурата, ако интерпретацията (съответно даването на стойности на променливите) отнасят „i“ и „j“ към едно и също нещо в универсума на дискурса; и „i=j“ има стойност Н, ако това не е така. Например твърдението „a=b“ ще има стойност И в някакъв универсум на дискурса при някаква интерпретация на „a“ и „b“, ако според нея „а“ и „b“ обозначават едно и също нещо, и ще има стойност Н, ако обозначават различни неща. Логически валидни продължават да бъдат (универсалните затваряния на) формулите, които получават стойност И във всеки универсум на дискурса при всяка интерпретация на буквите им за предикати и индивидните им константи. Логически валидна е например формулата „∃x x=a“, защото, който и универсум на дискурса да вземем и както и да интерпретираме „а“ в него, винаги ще съществува нещо, което е едно и също с нещото, което сме дали като интерпретация на „а“ – а именно самото това нещо.

Знакът за идентичност обогатява езика на предикатната логика. Чрез него могат да се формулират твърдения за това, че съществуват n, че съществуват най-малко n (поне n) или че съществуват най-много n неща (от някакъв вид или изобщо), където n е произволно естествено число (1, 2, 3,…). Например „∃ху ху“ ни казва, че съществуват поне 2 неща. Буквално: „Съществуват x и y, които не са едно и също нещо“. „∀хуz(х=уx=zy=z)“ ни казва, че съществуват най-много 2 неща. Буквално: „Каквито и неща x, y и z да вземем, поне две от тях ще бъдат един идентични – по този начин няма как да съществуват три или повече неща.

Ако интерпретираме „F“ като предиката „[1] е гений“ и ограничим универсума на дискурса върху хората, следните формули ще представят символно следните твърдения от естествения език:

хFx – Съществува поне един гений.
хy[(FxFy) → x=y] – Съществува най-много един гений.

Буквално: „Какъвто и човек x и какъвто и човек y да вземем, ако са гении, те ще са един и същ човек“ – по този начин се твърди, че няма повече от един гения, без да се твърди, че гении съществуват.

x[Fx ∧ ∀y(x=y)] – Съществува точно един гений.

Буквално: „Съществува някакъв човек x, който е гений, и освен това какъвто и човек да вземем, ако е гений, той ще е идентичен с x“ – първата част на изречението гарантира, че гении съществуват, а втората изключва те да са повече от един.

хy(FxFyxy) – Съществуват поне двама гения.

Буквално: „Има някакъв човек x и някакъв човек y, които са гении, и не са един и същ човек“.

хyz[(FxFyFz) → (x=yх=zy=z)] – Съществуват най-много двама гения.

Буквално: „Каквито и хора x, y, и z да вземем, ако са гении, то поне двама от тях са един и същ човек“ – така се изключва съществуването на трима гения, без да се предпоставя, че съществува и един.

xy{FxFyxy ∧ ∀z[Fz → (z=xz=y)]} – Съществуват точно двама гения.

Буквално: „Съществува някакъв човек x и някакъв човек y, които са гении и не са един и същ човек (до тук се гарантира, че поне двама гения съществуват), и какъвто и човек да вземем, ако е гений, той ще е или x, или y (с това се гарантира, че няма трети гений)“.

По аналогичен начин бихме могли да продължим с 3-ма, 4-ма, ..., 1000, ... и т.н. гения.

Твърдения като „Съществуват точно двама гения“ или „Съществуват най-много двама гения“ не могат да бъдат представени символно без използването на знака за идентичност. Има много други такива твърдения. Такова е например изречението „Съществува човек, който презира всички други хора“. Ако ограничим универсума на дискурса върху хората и представим предиката „[1] презира [2]“ с „F“, изразът

xyFxy

няма да представя символно твърдението „Съществува човек, който презира всички други хора“, а твърдението „Съществува човек, който презира всички хора“ (буквално: „Съществува такъв човек x, че който и човек да вземем, x ще го презира“). В последното изречение се съдържа това, че въпросният човек презира и самия себе си (защото той също е човек). Ние не искаме да кажем това, а че съществува човек x, за който е изпълнено, че какъвто и човек да вземем, ако той е различен от x, то x го презира. Буквалният символен запис на последното изречение е следният:

xy(yxFxy)

За да прилагаме нашата доказателствена процедура върху изводи, в които участват изречения, съдържащи равенства, е нужно да я снабдим с два допълнителни принципа, които ще наричаме „идентичност със себе си“ и „неразличимост на идентичните2. Идентичността със себе си изразява интуитивно очевидното положение, че всяко нещо е идентично със себе си. Ако „t“ стои на мястото на произволна индивидна константа, принципът е следният:

Идентичност със себе си: t = t

Идентичността със себе си ни дава право по всяко време в едно доказателство да използваме твърдения от вида на „a=a“, „b=b“, „c=c“ и т.н. като истинни предпоставки. Винаги когато пожелаем можем на нов ред да напишем едно такова твърдение, без да е нужно да го извеждаме от други твърдения.

Неразличимостта на идентичните е принципът, че ако a и b са едно и също нещо, то всичко, което е изпълнено за a, ще е изпълнено и за b. Ако t1 и t2 стоят на мястото на произволни индивидни константи, а „α(t)“ – на мястото на произволна формула, в която участва константата t, този принцип отговаря на следната валидна схема за извод:

Неразличимост на идентичните: t1 = t2
α(t1)
α(t2)

t1 и t2 могат да участват повече от един път в α. α(t2) е изразът, който е получен от α(t1), като едно, няколко или всички участия на t1 са заменени с t2 (не е нужно всички участия на t1 да е заменени с t2). Следните изводи са примери за прилагане на неразличимостта на идентичните.

a=b
Fa
Fb

От това, че a и b са едно и също нещо и a е F, следва, че и b е F.

b=c
Fbc
Fcc

От това, че b и c са едно и също нещо и b се намира в релацията F към c, следва, че c също се намира в релацията F към c, т.е. към себе си.

a=b
z(zaFza)
z(zbFza)

Тук α(a) e „∃z(zaFza)“, а α(b) е „∃z(zbFza)“. α(b) е получено от α(а), като само първото участие на „a“ в α(a) е заменено с „b“.

Принципите на идентичност със себе и на неразличимост на идентичните съдържат в себе си всички логически свойства на идентичността. Това означава, че посредством тези два принципа е възможно да се изведе всеки логически валиден извод или всяка логически валидна формула, в която участват равенства. Такива са например следните формули, изразяващи формалните свойства симетричност и транзитивност на отношението на идентичност:

ху(x=yy=x)
xyz[(x=yy=z) → x=z}]

Нека докажем тяхната валидност. Първо симетричността на отношението на идентичност:

1. ¬∀ху(x=yy=x) допускане на противното
2. ху¬(x=yy=x) от 1. по връзка между кванторите
3. у¬(a=yy=a) от 2. по EI
4. ¬(a=bb=a) от 3. по EI
5. a=bba от 4. по мат. импликация
6. а=b от 5. по симплификация
7. a=a идентичност със себе си
8. b=a от 6. и 7. по неразличимост на идентичните (първото участие на „а“ в „а=а“ е заменено с „b“ въз основа на „a=b“)
9. ba от 5. по симплификация – противоречие с 8.
10. ху(x=yy=x) от 1.-9. по свеждане до противоречие

Доказателство, че отношението на идентичност е транзитивно:

1. ¬∀xyz[(x=yy=z) → x=z] допускане на противното
2. xyz¬[(x=yy=z) → x=z] от 1. по връзка между кванторите
3. ¬[(a=bb=c) → a=c] от 2. по EI (три пъти)3
4. a=bb=cac от 3. по мат. импликация
5. b=c от 4. по симплификация
6. a=b от 4. по симплификация
7. а=c от 5. и 6. по неразличимост на идентичните
8. ac от 4. по симплификация – противоречие с 7.
9. xyz[(x=yy=z) → x=z] от 1.-8. по свеждане до противоречие

Като пример за доказателство на логическата валидност на аргумент от естествения език, в който участва понятието за идентичност, да разгледаме следния извод:

Шопенхауер не е обичал никого освен кучето си.
Кучето на Шопенхауер му е било вярно.
Шопенхауер е обичал само тези, които са му били верни.

Представяме единичните термини „Шопенхауер“ и „Кучето на Шопенхауер“ съответно с „а“ и „b“, и предикатите „[1] е обичал [2]“ и „[1] е бил верен на [2]“ – съответно с „F“ и „G“. Първата предпоставка може да се перифразира с изречението „Ако Шопенхауер е обичал нещо, това е било кучето му“, което се представя символно с „∀x(Faxb=х)“. Заключението може да се перифразира с изречението „Ако Шопенхауер е обичал нещо, то му е било вярно“, което се представя с „∀х(FaxGxa)“. Така целият извод придобива следния символен вид:

x(Faxb=х)
Gba
х(FaxGxa)

Ето едно доказателство за неговата валидност:

1. x(Faxb=х)
2. Gba / ∀х(FaxGxa)
3. ¬∀х(FaxGxa) допускане
4. х¬(FaxGxa) от 3. по връзка между кванторите
5. ¬(FacGca) от 4. по EI
6. Fac ∧ ¬Gca от 5. по материална импликация
7. Facb=c от 1. UI
8. b=c от 6. и 7. по симплификация и модус поненс
9. Gca от 8. и 2. по неразличимост на идентичните
10. ¬Gca от 6. по симплификация – противоречие с 9.
11. х(FaxGxa) от 3.-10. по свеждане до противоречие

Определени описания

Определените описания са изрази като „министър-председателят на България“, „най-дълбокият океан на Земята“, „авторът на Уейвърли4 и т.н. Това са единични термини, които, подобно на собствените имена, служат за обозначаване на някакви неща, но за разлика от тях имат смисъл и логическа структура. Всяко определено описание съдържа някакъв прост или съставен предикат (в горните примери това са съответно „[1] e министър-председател на България“, „[1] е океан, от който няма по-дълбок на Земята“, „[1] e написал Уейвърли“). Предикатите са общи, а не единични термини. Това което превръща определените описания в единични термини е определителният член в края на предиката – в горните примери това са наставките „-ят“ и „-ът“. Употребата на определителния член показва, че се предпоставя, че предикатът на определеното описание е истинен за един единствен предмет от универсума на дискурса, който се има предвид. Ако означим предикатът с „F“, всяко определено описание може да се перифразира с израза „единственото нещо, което е F“.

Тъй като определените описания са единични термини, досега ги представяхме символно с индивидни константи. Изречението „Авторът на Уейвърли е шотландец“ например бихме представили с „Ga“, където „a“ отговаря на определеното описание „авторът на Уейвърли“, а „G“ – на предиката „шотландец“. Това само по себе си не е неправилно, но има случаи, когато логическата структура на определените описания, която липсва в собствените имена и индивидните константи, е важна за логическата валидност на изводите. Да разгледаме например следния очевидно валиден извод:

Авторът на Уейвърли е писал само качествени произведения.
Уейвърли е качествено произведение.

Ако представим определеното описание „авторът на Уейвърли“ с индивидна константа, логическата валидност на извода няма да може да бъде показана, тъй като символното му представяне би било следното:

x(Fax)
Gb

Предикатите „[1] е автор на [2]“ и „[1] е качествено произведение“ са представени символно съответно с „F“ и „G“, а единичните термин „авторът на Уейвърли“ и „Уейвърли“ – съответно с константите „a“ и „b“. В символното представяне се е загубила връзката между изразите „авторът на Уейвърли“ (представен с „а“) и „Уейвърли“ (представен с „b“), която е от значение за валидността на извода. В подобни случаи е необходимо да бъдат отчетени участващите в определеното описание предикати или единични термини. Теорията за определените описания на Ръсел, която ще изложим след малко, показва как може да стане това.

Определените описания са свързани и с един философско-логически проблем. Подобно на собствените имена в естествените езици, единствената функция на индивидните константи в символния език на логиката („a“, „b“,…) е да обозначават определени неща. В символното представяне на горния извод например индивидната константа „a“ обозначаваше автора на Уейвърли (т.е. Уолтър Скот), а индивидната константа „b“ – романа Уейвърли. Това може да доведе до възгледа, че по принцип единичните термини имат смисъл (употребата им изпълнява някаква функция) само доколкото обозначават някакви неща. Този възглед обаче води до абсурдното следствие, че за да е смислено едно твърдение с формата „a съществува“, то трябва да е истинно. Причината е следната: за да е смислено твърдението, трябва да е смислен съдържащият се в него термин „a“. Но щом смисълът на „а“ е предметът, който обозначава, ако последният не съществува, „а“ няма да има смисъл. Следователно, ако твърдението „а съществува“ е неистинно, то предметът a няма да съществува и името „a“ ще е безсмислено, което прави безсмислено и самото твърдение. Значи последното има смисъл само ако е истинно. Стига до абсурда, че ако някой твърди за нещо, което е именувал по някакъв начин, че съществува (било то Бог, Баба Яга, най-голямото число и т.н.), никой, който е логичен, не може да не се съгласи с него. В противен случай, казвайки например „Баба Яга не съществува“, той би говорил безсмислици.

Този проблем е налице не само в естествения език, но и в символния език на логиката. Изречението „a съществува“ се представя символно с „∃x x=a“ („Съществува нещо, което е идентично с a“). Тъй като всяка възможна интерпретация на „a“ се състои в определянето на нещо от универсума на дискурса, което тази константа обозначава, по отношение на всяка интерпретация на „а“ във всеки универсум на дискурса ще е вярно, че съществува нещо, което е идентично с a (а именно самото а) и следователно формулата „∃x x=a“ („a съществува“) ще е истинна във всяка структура, т.е. ще е логически валидна. Ето едно доказателство за логическата ѝ валидност:

1. ¬∃x x=a допускане на противното
2. x xa от 1. по връзка между кванторите
3. aa от 2. по UI
4. a=a идентичност със себе си – противоречие с 3.
5. x x=a от 1.-4. по свеждане до противоречие

Логическата валидност на „∃x(x=a)“ означава, че ако използваме само индивидни константи, за да представяме символно единичните термини от естествените езици, за много неща не бихме могли да твърдим, че не съществуват, въпреки че знаем, че е така, защото твърденията за съществуването им се оказват логически истинни и съответно отрицанията им – логически неистинни. Логически неистинни се оказват твърдения като:

Пегас не съществува.
Настоящият крал на Франция не съществува.
Най-голямото число не съществува.

Едно отчаяно средство за справяне с проблема е напълно да се откажем от употребата на единични термини, които не обозначават съществуващи неща (като „Пегас“ или „кралят на Франция“), защото, ако такива термини са част от езика, всеки би могъл да използва горното доказателство, за да докаже, че тези несъществуващи неща всъщност съществуват. Как обаче можем да знаем винаги какво съществува и какво не, за да не говорим за несъществуващото?

Класическо решение на този проблем е теорията на Бъртранд Ръсел за определените описания (Russell, 1905) (Философия на логиката: Ранна аналитична философия, 2003). Тя е следната. Когато някой употребява произволно определено описание в дадено твърдение – да си представим, че сериозно твърди, че настоящият крал на Франция е плешив – той прави (експлицитно или имплицитно) не едно, а всъщност три твърдения. Първо, мисли, че съществува настоящ крал на Франция, т.е. налице е имплицитно твърдение за съществуване. Второ, използването на определителния член „-ят“ показва, че мисли, че няма повече от един настоящ крал на Франция, т.е. налице е също имплицитно твърдение за единственост. И трето, мисли, че това нещо е плешиво – експлицитното твърдение. Като представим символно тези не едно, а три твърдения, получаваме следното:

(1) x[Fx ∧ ∀y(Fyx=y) ∧ Gx]

F“ представя символно предиката на определеното описание „[1] е настоящ крал на Франция“, а „G“ – предиката „[1] е плешив“. (1) буквално ни казва: „Има някакво x, което е крал на Франция („∃x[Fx…“ – твърдението за съществуване); всяко нещо, което е крал на Франция, е идентично с x („…∀y(Fyx=y)…“ – твърдението за единственост на краля на Франция); въпросното x е плешиво („…Gx“ – експлицитното твърдение)“. С други думи в (1) се твърди, че съществува крал на Франция, че няма повече от един крал на Франция и че той е плешив. Следвайки Ръселовия анализ, формата на твърдението „Настоящият крал на Франция съществува“ е същата като (1), но без последния член на конюнкцията, отнасящ се до плешивостта на краля:

(2) x[Fx ∧ ∀y(Fyx=y)]

(2) ни казва, че съществува нещо, което е крал на Франция, и че само то е крал на Франция. За разлика от „∃x x=a(2) не е логически валиднa формула и спокойно може да бъде отречена, ако искаме да кажем, че, понеже Франция е република, настоящият крал на Франция не съществува:

(3) ¬∃x[Fx ∧ ∀y(Fyx=y)]

(3) би било истинно, ако не съществува крал на Франция или ако съществува, но не е единствен. За разлика от „¬∃x x=a(3) не предпоставя съществуването на настоящ крал на Франция, защото в (3) индивидната константа „а“ вече не присъства – нейната смисленост ни задължаваше да приемем съществуването на обозначаваното от нея нещо. В (3) има само предикати, няма индивидни константи.

По този начин Ръселовият анализ на определените описания решава философско-логическия проблем с единичните термини, които не обозначават нищо, в случаите, когато са определени описания (като „кралят на Франция“). Анализът обаче може да се приложи върху всички единични термини, които не обозначават нищо – например върху собствени имена като „Пегас“ или съдържащи местоимения изрази като „този човек в далечината“ (може само да ми се е сторило, че в далечината има човек). За целта е достатъчно да перифразираме въпросните единични термини с определени описания. Самият Ръсел смята, че всички собствени имена са скрити определени описания, но дори и да не приемаме тази малко крайна теза, винаги можем да намерим определено описание, с което дадено собствено име или друг единичен термин да могат да бъдат заместени. Например бихме могли да перифразираме „Аристотел“ с „учителят на Александър Македонски“; „този човек“ – с „човекът, който стои в момента до вратата“ и т.н. Когато един единичен термин бъде заменен по този начин с определено описание, символното представяне на твърдението, от което е част, става съгласно Ръселовия анализ.

Освен че решава философско-логическия проблем с изразите, обозначаващи несъществуващи неща, Ръселовата теория за определените описания дава възможност да доказваме изводи, чиято валидност зависи от съдържащите се в определените описания предикати или единични термини, като този за автора на Уейвърли по-горе. Както видяхме изводът

Авторът на Уейвърли е писал само качествени произведения.
Уейвърли е качествено произведение.

не може да бъде анализиран адекватно, без да се навлезе в структурата на определеното описание „авторът на Уейвърли“. Теорията за определените описания показва как да стане това. Като представим „Уейвърли“ с „a“, „[1] е написал [2]“ – с „F“ и „[1] е качествено произведение“ – с „G“ и използваме теорията за определените описания, символното представяне на извода би било следното:

x[Fxa ∧ ∀y(Fyay=x) ∧ ∀z(FxzGz)]
Ga

Предпоставката буквално ни казва: „Съществува x, което е написало Уейвърли; всяко нещо, което е написало Уейвърли, е идентично с x; и всяко нещо, което x е написало, е качествено произведение“. Логическата валидност на извода сега вече може да бъде показана:

1. x[Fxa ∧ ∀y(Fyay=x) ∧ ∀z(FxzGz)] / Ga
2. Fba ∧ ∀y(Fyay=b) ∧ ∀z(FbzGz) от 1. по EI
3. z(FbzGz) от 2. по симплификация
4. FbaGa от 3. по UI
5. Fba от 2. по симплификация
6. Ga от 4. и 5. по модус поненс

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Представете символно твърденията:

1) Съществуват най-малко трима мъдреци.
2) Съществуват най-много трима мъдреци.
3) Съществуват точно трима мъдреци.

(2) Представете символно твърденията, като използвате дадените означения:

1) Никой не обича друг освен себе си. F – [1] обича [2]; D – хората
2) Всеки обича някой друг. като горното
3) Има нещо, което е по-съвършено от всичко освен от самото себе си. F – [1] е по-съвършено от [2]
4) Нищо не е против Бог освен Бог самият. F – [1] е против [2], a – Бог
5) По отношение на всяко нещо има друго, по-съвършено от него. F – [1] е по-съвършено от [2]
6) Ако нещо е по-съвършенo от всичко освен от самото себе си, то това е Бог. F – [1] е по-съвършено от [2], а – Бог
7) Никой, който мисли доброто на всеки освен на самия себе си, не е егоист. F – [1] мисли доброто на [2], G – [1] е егоист; D – хората
8) Никой не уважава някой, който не уважава никой освен себе си. F – [1] уважава [2]; D – хората
9) Ако две неща са различни, то едното притежава свойство, което другото не притежава. F – [1] е свойство, G – [1] притежава [2]
10) Петър уважава единствено Мария и Иван. F – [1] уважава [2], а – Петър, b – Мария, c – Иван

(3) Докажете валидността на изводите, като използвате означенията:

1) Иван плува по-бързо от треньора на отбора. F – [1] плува по-бързо от [2], а – Иван, b – треньора на отбора
Никой не плува по-бързо от самия себе си.
Иван не е треньорът на отбора.
2) Никой няма достъп до охранителните камери освен управителя и шефа на охраната. F – [1] има достъп до охранителните камери, G – [1] е откраднал документите, a – управителят, b – шефът на охраната; D – хората
Документите са откраднати от някой, който има достъп до охранителните камери.
Управителят или шефът на охраната са откраднали документите.

(4) Докажете следните логически еквивалентности:

1) x(a=xFx) Fa
2) x(Fxx=a) Fa

(5) Представете символно твърденията, като използвате означенията.

1) Жената на Иван обича цветя. F – [1] e жена на [2], G – [1] обича цветя, i – Иван
2) Бащата на Мария, познава Иван. F – [1] е баща на [2], G – [1] познава [2], m – Мария, i – Иван; D – хората
3) Този град, в който аз съм роден, е скучен. F – [1] е град, G – [1] е роден в [2], H – [1] е скучен, а – аз
4) Замъкът, в който е роден Дракула, се намира в Карпатите. F – [1] е замък, G – [1] е роден в [2], H – [1] се намира в [2], d – Дракула, k – Карпатите
5) Шахматистът, който никой компютър не може да победи, е унгарец. F – [1] е шахматист, G – [1] е компютър, H – [1] може да победи [2], I – [1] е унгарец
6) Ако авторът на Уейвърли е шотландец, то и авторът на Айвънхоу е шотландец. F – [1] е автор на [2], G – [1] е шотландец, wУейвърли, iАйвънхоу

(6) Докажете валидността на изводите, като използвате означенията:

1) Авторът на Уейвърли е написал Айвънхоу. F – [1] е написал [2], wУейвърли, iАйвънхоу
Има някой, който е написал и двете – Айвънхоу и Уейвърли.
2) Сопраното, което слушах снощи, изпълни ролята на Царицата на нощта. F – [1] е сопрано, G – аз слушах снощи [1], H – [1] изпълнява ролята на Царицата на нощта, I – [1] взима фа от трета октава; D – хората
Всеки, който изпълнява тази роля, взима фа от трета октава.
Някои сопрана взимат фа от трета октава.


1. За синтаксиса и семантиката на предикатната логика виж „3.4 Синтаксис и семантика на предикатната логика“. 2. Гьодел (Gödel, 1930) доказва, че тези два принципа съдържат така да се каже всички логически свойства на идентичността, т.е. че са достатъчни за доказателството на всеки логически валиден извод, в който участват равенства. 3. На тази стъпка отговарят три последователни екзистенциални инстанциации, поради което инстанциираните константи трябва да са три различни и нови. 4. Уейвърли е роман на шотландския писател Уолтър Скот, а примерът е на Б. Ръсел – автора на теорията за определените описания.