1.7 Бърза проверка за логическо следване

Това е, по-кратък от стандартния, начин за проверка на логическата валидност на изводи чрез истинностно-функционален анализ, който обаче е приложим само в определени случаи.

По принцип, определянето на това, дали някаква схема за извод е валидна, или не, се свежда до това, да определим дали е възможно, когато предпоставката (или конюнкцията от предпоставките) е истинна, заключението да е неистинно. Ако не е възможно, изводът е валиден; ако е възможно, не е. Проверката в някои случаи може да бъде опростена. Това са случаите, в които е очевидно, че предпоставката (конюнкцията от предпоставките) е истинна само в един единствен случай или че заключението е неистинно само в един единствен случай. Ако предпоставката е истинна в един единствен случай, можем да проверим дали в този случай заключението може да е неистинно. Ако не може, схемата за извод ще е валидна; ако може, няма да е валидна. Да разгледаме като пример следната схема за извод:

¬pqr
[p→(qs)] ∧ (¬r↔¬q)

Очевидно е, че предпоставката е истинна само когато „p“ е Н, а „q“ и „r“ са И (една конюнкция е истинна само когато всичките ѝ членове са истинни). За да проверим дали в този случай заключението може да е неистинно, заместваме буквите за твърдения в заключението с тези истинностни стойности и проверяваме с истинностно-функционален анализ дали заключението може да получи стойност Н:

[p→(qs)] ∧ (¬r↔¬q)
p: Н, q: И, r: И
[(Н→(И∨s)] ∧ (Н↔Н)
И ∧ И
И

Анализът показва, че в единствения случай, когато предпоставката е истинна, заключението също е истинно; следователно това е една логически валидна схема за извод.

Да разгледаме още един пример. Искаме да проверим дали следната схема за извод е валидна:

¬(pq) ∧ r
qr) → (¬ps)

Тук отново предпоставката е истинна само в един единствен случай, защото отрицанието на една импликация е истинно (т.е. самата тя е неистинна) само когато антецедентът ѝ е истинен, а консеквентът ѝ е неистинен, и значи „¬(pq)∧r“ е истинно само когато „p“ е И, „q“ е Н, а „r“ е И. За да проверим дали схемата за извод е валидна, заместваме „p“, „q“ и „r“ с тези стойности в заключението и проверяваме дали е възможно да приеме стойност Н:

qr) → (¬ps)
p: И, q: Н, r: И
(И∨И) → (Н∨s)
И → s
s
И Н

Анализът показва, че, когато предпоставката е истинна, заключението може и да е неистинно, което означава, че схемата за извод е невалидна.

Бърза проверка за логически следване е приложима и когато заключението е неистинно само в един единствен случай. Тогава можем да проверим дали в този случай предпоставката може да е истинна. Ако не може, няма да е възможно заключението да е неистинно, когато предпоставката е истинна, и значи схемата за извод ще е валидна. Обратно, ако във въпросния случай предпоставката може да е истинна, схемата за извод ще е невалидна. Като пример нека проверим валидността на следната схема за извод:

p ↔ (¬rq)
p ∨ ¬q

Заключението е неистинно само когато „p“ е Н, а „q“ е И. Проверяваме дали в този случай предпоставката може да е И:

p ↔ (¬rq)
p: Н, q: И
Н ↔ (¬r∨И)
Н ↔ И
Н

Оказва се, че във въпросния случай предпоставката не може да е И; следователно схемата е валидна.

Бързата проверка е много ефективен метод, който е приложим по-често отколкото може би на пръв поглед изглежда. Много често един аргумент има заключение с формата на просто твърдение, отрицание на просто твърдение, дизюнкция или импликация между прости твърдения. Тогава заключението е неистинно в един единствен случай, което прави приложимо използването на бърза проверка във варианта, при който проверяваме дали при неистинно заключение предпоставките могат да бъдат едновременно истинни (т.е. дали може да е истинна конюнкцията им). Примерите в задача (2) отдолу са такива.

Задачи

(Изтеглете задачите като pdf.)

(1) Определете с бърза проверка дали следните схеми за извод са логически валидни:

1) (pp) → q
q

2) pq
p ↔ (qr)

3) ¬(r→¬s) ∧ p
r ↔ (ps)

4) (pq) → [(rs)→t]
(pq) → (rt)

5) (rq) ∧ (sr) ∧ [p→(rs)]
p → (qr)

6) [p∨(qr)] ∧ (pr)
r

7) ¬p ∧ ¬qs
p ↔ [q→(rs)]

8) (p∧¬q) ∨ [(rs)→p]
¬p ∨ (qr)

9) (p→¬q) ∨ r
¬rp

10) ¬(pq) ∧ r
[(pr)→¬q] ∨ (¬p∧¬r)

(2) Докажете с бърза проверка, че следните аргументи са логически валидни:

1) Ако започна новата работа, ще трябва да си купя кола, а ако отида на море това лято, ще изхарча половината от спестяванията си. Но ако си купя кола и изхарча половината от спестяванията си, ще трябва да живея с 10 лева на ден. Аз обаче не мога да живея с 10 лева на ден. Значи или няма да си купя кола, или няма да отида на море.

2) Ако нашият представител се кандидатира за президент, то ако направи позитивна кампания, ще стигне до балотаж. Ако стигне до балотаж и спечели изборите, той няма да бъде преизбран след четири години. Ако обаче подкрепи смъртното наказание, той ще спечели изборите и ще бъде преизбран след четири години. Следователно, ако нашият представител се кандидатира за президент, ако направи позитивна кампания, той няма да подкрепи смъртното наказание.

3) Ако лекарят инжектира антителата, пациентът ще получи алергична реакция, а ако получи алергична реакция, черният му дроб ще спре да функционира. Но ако лекарят не инжектира антителата, вирусът ще се разпространи в кръвоносната система. Черният дроб на пациента ще спре да функционира, ако вирусът се разпространи в кръвоносната му система. Ако черният дроб му дроб спре да функционира, той няма да доживее до сутринта. Лекарят ще инжектира или няма да инжектира антителата, така че пациентът със сигурност няма да доживее до сутринта.

4) Ако е Нова година, Иван пие червено вино. Ако празнува с приятели, Иван пие бира. Следователно, ако празнува Нова година с приятели, Иван пие червено вино и бира.

5) Ако Иван запише старогръцки, той ще запише и латински. Ако запише старогръцки, то ако запише латински, той ще запише и логика. Но, ако Иван запише старогръцки, то ако запише логика, той ще запише и математика. Следователно, ако запише старогръцки, той ще запише и математика.

6) Ако започне икономическа криза или възникнат международни конфликти, то ако правителството бездейства или взима неадекватни мерки, няма да има нито икономически растеж, нито политическа стабилност. Ако няма икономически растеж или данъците се повишат, ще има протести. Следователно, ако започне икономическа криза, то ако правителството бездейства, ще има протести.

7) Ако Петър е срещнал Мария, той ѝ е казал новината, в случай че я е знаел. Но Петър е срещнал Мария и не ѝ е казал новината. Значи не я е знаел.

8) Ако отида на приема, ще трябва да си купя фрак. Но, ако си купя фрак, няма да мога едновременно да си платя наема и да си върна заема. Ако не платя наема, ще трябва да се крия един месец от хазяина, а аз не мога да направя това. Освен това ще трябва да си върна заема. Значи няма как да отида на приема.