Пропозиционална логика наричаме тази част от логиката, която се занимава с изводи, чиято логическа валидност зависи от така наречените логически съюзи. Това са думи и изрази като „и“, „или“, „освен ако“, „освен че“, „ако …, то …“, „нито …, нито …“ и др.
Когато изводите, които анализираме логически, са по-прости, можем да разчитаме на логическата си интуиция, за да разграничим валидния от невалидния извод. Например всеки би се съгласил, че първият извод е логически валиден, а вторият не е:
| Той e може да плува и да кара ски. | Той e може да плува или да кара ски. | |||
| Той може да кара ски. | Той може да кара ски. |
Логическата валидност или невалидност на един извод зависи от формата му, а не от това, за какво се говори в изреченията, които съдържа. Формата изпъква, когато заменим нелогическите изрази със символи. В горните два извода това може да стане по следния начин:
| p и q | p или q | |||
| q | q |
Очевидно всеки извод, който има първата форма, ще е валиден и всеки, който има втората, ще е невалиден.
Колкото по-сложни стават изводите, толкова по-трудно става да се прецени тяхната валидност. Например при определянето на това, дали следният извод е логически валиден, вече става съмнително дали можем да разчитаме само на логическата си интуиция:
| Ако това нещо е животно, то или реагира на дразнения, или може да се движи. |
| Ако това нещо не реагира на дразнения или не може да се движи, то не е животно. |
Като заменим „Това нещо е животно“ с „p“, „Това нещо реагира на дразнения“ – с „q“ и „Това нещо може да се движи“ – с „r“, получаваме
| Ако p, то q или r. |
| Ако не-q или не-r, то не-p. |
Извод с такава форма е логически невалиден. Причината е, че е възможно предпоставката да е истинна, а заключението да е неистинно, но, за да сме сигурни в това, е нужно да използваме определени логически техники, които пропозиционалната логика ни дава. Дори и да приемем, че с помощта на малко разсъждения невалидността на горния извод става очевидна, съществуват неограничено много по-сложни изводи, за които никой човек не би могъл да определи дали са валидни, без да използва някакви логически методи.
От друга страна има видове изводи, които не са сложни, но логическата им валидност отново е проблем за интуицията, тъй като се използват рядко (ако въобще се използват) и не сме свикнали с тях. Да разгледаме например следния извод:
| Този предмет е в покой и не е в покой. |
| Всички прасета могат да летят. |
Изводът е логически валиден, но това не изглежда особено очевидно. Една от главните цели на логиката, и в частност на пропозиционалната логика, е да разработи процедури, чрез които за всеки извод, независимо от неговата сложност или от това, дали сме свикнали да го използваме, да може да се провери дали е логически валиден, или не, и ако е валиден, това да може ясно да се покаже.
Отклонявайки се за малко, нека се убедим, че изводът наистина е логически валиден. Валидността му има връзка със закона за непротиворечието. Първо нека направим явна логическата му форма:
| p и не-p |
| q |
Между предпоставката и заключението няма връзка, защото (както е в случая) p и q може да са съвсем независими изречения. Предпоставката е противоречива – в нея по същество се твърди, че както p, така и неговото отрицание не-p са истинни. Следователно цялата схема ни казва, че от едно противоречие следва всичко (всяко едно твърдение). За да се убедим, че това е така, ще приемем истинността на предпоставката, т.е. ще приемем, че както p, така и не-p са истинни, и ще покажем, че тогава q (каквото и да е твърдение) също е истинно.
Щом твърдението p е истинно, ще е истинно и твърдението „p или q“ (където q е някакво произволно твърдение) въз основа на следната валидна схема:
| p |
| p или q |
(Схемата е валидна, защото за истинността на „p или q“ е достатъчно едното от двете твърдения да е истинно, а от предпоставката знаем, че p е такова.) Но понеже по условие и „не-p“ е истинно, от него и току що изведеното „p или q“ следва q въз основа на следната валидна схема:
| p или q |
| не-p |
| q |
(Схемата е валидна, защото в първата предпоставка се казва, че поне едно от две определени твърдения е истинно, а във втората, че първото от тях не е истинно – значи остава второто да е истинно.) С това доказахме каквото искахме. Това, че от едно противоречие следва всичко, показва защо сме длъжни да приемем закона за непротиворечието (единия от двата, формулирани от Аристотел, основни закони на логиката). Когато поддържаме някаква теза, теория, възглед и т.н. се ангажираме с истинността на определени твърдения. Това автоматично ни ангажира и с истинността на твърденията, които следват логически от тях. Ако поддържаните твърдения съдържат противоречие, тъй като от него следва всичко, ще трябва да се ангажираме с истинността на всяко възможно твърдение („Снегът е бял“, „Снегът не е бял“, „2+2=4“, „2+2≠4“, …). Но да твърдиш всичко е все едно да не твърдиш нищо.
Твърдения ще наричаме тези изречения, които могат да бъдат (и са) истинни или неистинни. Само съобщителните изречения са твърдения. Въпросите, заповедите, възклицанията и т.н. не са твърдения. Например, за разлика от „Вселената има начало във времето“ (съобщително изречение), изреченията „Колко е часът?“ (въпросително изречение), „Затвори прозореца!“ (императивно изречение), „Ех, да бях отново млад!“ (възклицателно изречение) не са твърдения. Истинностната стойност на едно твърдение е просто това, дали е истинно или неистинно. Истинностните стойности са две: истина, която ще обозначаваме накратко с „И“, и неистина, която ще обозначаваме с „Н“. Например твърдението „Вселената има начало във времето“ има истинностна стойност И.
Някои изречения са такива, че без да е определен контекстът, в който са изказани или написани, не може да се каже дали са истинни, или не. Такова е например изречението „Аз съм болен“, защото произнесено от някого може да е истинно, а от друг да е неистинно. Истинностната стойност може също да зависи от мястото или времето. Изречението „София е далеч“ е истинно, ако е произнесено в Париж, и е неистинно, ако е произнесено в Перник. „Хората са кацали на Луната“ е истинно в момента, но е било неистинно в началото на 20-ти век. От друга страна, има изречения, като „Вселената няма начало във времето“ и „Всички метали са електропроводими“, които са истинни или неистинно без оглед на това, какъв е контекстът на произнасянето, написването или възприемането им. Такива изречения биха могли да бъдат наречени вечни изречения. Когато истинностната стойност на някакво изречение зависи от контекста – от това, кой е говорителят, мястото, времето и т.н. – ще си представяме, че всички тези параметри са определени и че е ясно какво се има предвид. По този начин ще ги разглеждаме като съкратени варианти на вечни изречения. Например, ако изречението „София е далеч“ е произнесено в Париж, ще го разглеждаме като съкратен вариант на „София е далеч от Париж“. Когато същото изречение е произнесено в Перник, ще го разглеждаме като съкратен вариант на „София е далеч от Перник“. Изречението „Аз бях болен вчера“, произнесено от Иван днес, ще бъде разглеждано като съкратен вариант на изречението „Иван е болен на [вчерашна дата]“, като ще си представяме, че е ясно за кой Иван става въпрос и т.н. Този подход ще улесни логическата ни работа, защото ще ни позволи да разглеждаме всяко твърдение като имащо определена истинностна стойност.
Чрез думи или изрази като „и“, „или“, „ако …, то …“, „нито …, нито …“ и др. свързваме твърдения в по-сложни, съставни твърдения, като истинностната стойност на последните зависи по определен начин от истинностните стойности на твърденията, от които са конструирани. Просите твърдения, които не са съставени от други твърдения посредством тези думи и изрази, ще наричаме атомарни. Например съставното твърдение „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ е съставено от атомарните твърдения „Кризата ще продължи“ и „Данъците ще се увеличат“ посредством съюза „и“. Това твърдение е истинно, ако и двете атомарни твърдения са истинни, и е неистинно, ако едното от тях или и двете са неистинни. Съставното твърдение „Кризата ще продължи или данъците ще се увеличат“ е истинно, ако поне едното от същите атомарни твърдения е истинно, и е неистинно ако и двете са неистинни. Съставното твърдение „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“ е истинно, ако и двете атомарни твърдения са неистинни, и е неистинно във всички останали случаи.
Чрез многократно използване на такива логически думи или изрази могат да се образуват все по-сложни и по-сложни твърдения, но, колкото и да са сложни, истинностната им стойност винаги зависи по строго определен начин от истинностните стойности на атомарните твърдения в тях. Така например истинностната стойност на твърдението
| Ако кризата продължи и данъците не се увеличат, то или ще има актуализация на бюджета, или нито ще се увеличат заплатите, нито ще има коледни добавки. |
зависи по строго определен начин от истинностните стойности на петте атомарни твърдения, които се съдържат в него, а именно „Кризата ще продължи“, „Данъците ще се увеличат“, „Ще има актуализация на бюджета“, „Ще се увеличат заплатите“, „Ще има коледни добавки“. Ако знаем истинностните стойности на тези твърдения, можем да изчислим истинностната стойност на цялото твърдение.
Тези логически думи или изрази, чрез които от по-прости твърдения се образуват по-сложни, така че истинностната стойност на последните зависи напълно от истинностните стойности на съставящите ги (и в крайна сметка на атомарните) твърдения, се наричат логически съюзи. Първият логически съюз, който ще разгледаме, е конюнкцията.
Твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ е истинно, ако и двете твърдения, които „и“ свързва, са истинни, и е неистинно в противен случай (ако едното от тях или и двете са неистинни). Същото важи и за „Кризата ще продължи, а данъците ще се увеличат“, „Кризата ще продължи, но данъците ще се увеличат“, „Кризата ще продължи, макар че данъците ще се увеличат“. Въпреки разликата в употребата им, изрази като „и“, „а“, „но“, „обаче“, „въпреки че“, „макар че“, „освен че“ и други свързват така две твърдения в съставно твърдение, че то е истинно само когато и двете са истинни. Израз, който свързва по такъв начин две твърдения, се нарича конюнкция. Конюнкция се нарича и самото съставно твърдение – т.е., ако p и q са произволни твърдения, конюнкции са твърденията „p и q“, „p, но q“, „p, обаче q“ и т.н. Двете свързвани твърдения се наричат конюнкти.
Конюнкцията се представя символно с „∧“. Ако „p“ представя символно твърдението „Кризата ще продължи“, а „q“ – „Данъците ще се увеличат“, твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“, ще се представи символно с „p∧q“ (чете се „p конюнкция q“ или „p и q“).1 Малките латински букви „p“, „q“, „r“, …, с които като правило ще представяме символно атомарни твърдения, ще наричаме букви за твърдения.
Начинът, по който истинностната стойност на конюнкцията зависи от истинностните стойности на съставящите я твърдения, се илюстрира от следната таблица за истинност.
| α | β | α ∧ β |
| И | И | И |
| И | Н | Н |
| Н | И | Н |
| Н | Н | Н |
α и β са произволни (съставни или атомарни) твърдения. Всеки от четирите реда на таблицата отговаря на една възможна комбинация от истинностни стойности на α и β. Първият ред отговаря на случая, когато и α, и β са истинни, втория – на случая, когато α е истинно, а β е неистинно и т.н. Във всеки от тези случаи в колоната под α∧β е дадена истинностна стойност на конюнкцията между двете твърдения. Конюнкцията е истинна, когато и двата конюнкта са истинни (първия ред), и неистина във всички останали случаи (останалите три реда).
За разлика от символния език на логиката, в естествените езици конюнкция се изразява по много начини. Най-простият е чрез съюза „и“. Съюзи като „но“, „въпреки че“, „обаче“ и др. също изразяват конюнкция, но освен определени отношения по истинност между съставното твърдение и съставящите го твърдения, от които логиката единствено се интересува, те показват и нещо от отношението на говорещия към това за което говори. Като казва „но“ вместо „и“ говорещият подчертава контраста между двете утвърждавани положения на нещата. Например в изречението „Иван дойде, но Петър не дойде“ „но“ подчертава контраста между идването на единия и неидването на другия. „Макар че“, „въпреки че“, „обаче“ и т.н. се използват, когато въпросният контраст е още по-голям и даже предизвиква изненада. При изказването „Въпреки че Иван дойде, Петър не дойде“ е много вероятно говорещият да е очаквал, ако дойде Иван, да дойде и Петър, което не се е случило. „а“ стои някъде между „и“ и „но“ в тази скала на подчертаване на контраста – понякога бихме могли да го заменим с едното, понякога с другото. Всички тези нюанси в употребата на горните съюзи обаче са ирелевантни от логическа гледна точка, защото не засягат отношението между истинностните стойности на съставното твърдение и съставящите го твърдения. Подобно на „и“ тези съюзи обикновено изразяват конюнкция.
Съюзът „и“ може да изразява конюнкция и без да стои между две изречения. В „Ана и Мария са хубави жени“ „и“ стои между собствени имена, в „Иван се разсърди и си тръгна“ – между глаголи. Двете твърдения са съкратени версии съответно на конюнкциите „Ана е хубава жена и Мария е хубава жена“ и „Иван се разсърди и Иван си тръгна“. По същия начин „и“ може да стои и между наречия. „Той се справи със задачата бързо и умело“ може да се перифразира с „Той се справи със задачата бързо и той се справи със задачата умело“.
Понякога „и“ не изразява конюнкция. Например „Ана и Мария се разбират добре“ (за разлика от „Ана и Мария са хубави жени“) не може да се перифразира с „Ана се разбира добре и Мария се разбира добре“. Твърдението по-скоро би следвало да се разглежда като атомарно, т.е. като твърдение, в което не се съдържат други твърдения, а което изразява някакво логически просто отношение между Ана и Мария, подобно на твърдението „Ана е по-висока от Мария“.
Редът на конюнктите не оказва влияние върху истинностната стойност на конюнкцията. „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ има същата истинностна стойност като „Данъците ще се увеличат и кризата ще продължи“ – и двете твърдения са истинни само ако са истинни твърденията, от които са съставени.
Понякога последователността на изреченията, които „и“ свързва, отговаря на последователност във времето. Има разлика между „Тя се съблече и си легна“ и „Тя си легна и се съблече“ – редът на атомарните твърдения отговаря на последователността на събитията във времето. Този аспект в употребата на „и“-изреченията (когато го има) е допълнителен и е ирелевантен за логиката. И в двете горни твърдения „и“ продължава изразява конюнкция, защото те биха били истинни само ако атомарните твърдения в тях са истинни.
Примери за конюнкция:
| p ∧ q | p | q |
| Варна и Пловдив са на изток от София. | Варна е на изток от София. | Пловдив е на изток от София. |
| Иван и Петър са женени съответно за Ана и Мария. | Иван е женен за Ана. | Петър е женен за Мария. |
| Както католиците, така и протестантите вярват във възкресението. | Католиците вярват във възкресението. | Протестантите вярват във възкресението. |
| Мария си е вкъщи, но спи. | Мария си е вкъщи. | Мария спи. |
| Иван си е вкъщи, обаче Петър не е. | Иван е вкъщи. | Петър не е вкъщи. |
| Въпреки че не валеше дъжд, концертът не се състоя. | Не валеше дъжд. | Концертът не се състоя. |
| Макар че я обичаше, Петър напусна Мария. | Петър обичаше Мария. | Петър напусна Мария. |
Отрицанието е логическият съюз, който отговаря на думата „не“. Ще го означаваме с „¬“.2 Ако „p“ представя символно изречението „Вселената е безкрайна“, „¬p“ (чете се „не p“ или „отрицание p“) ще представя символно изречението „Вселената не е безкрайна“. Полученото твърдение („¬p“, „Вселената не е безкрайна“ в случая) също се нарича „отрицание“ – отрицание на началното твърдение. За разлика от останалите логически съюзи, чрез които от две твърдения се образува ново твърдение, чрез отрицанието се образува ново твърдение от едно твърдение (като последното се отрича). Следната таблица за истинност показва как истинностната стойност на твърденията с формата на отрицание зависи от истинностната стойност на отреченото твърдение:
| α | ¬α |
| И | Н |
| Н | И |
Ако произволно твърдение α има стойност И (истина), ¬α има стойност Н (неистина), и ако α има стойност Н, ¬α има стойност И; т.е. отрицанието винаги има различна истинностна стойност от тази на отреченото твърдение.
Често, за да получим отрицанието на едно твърдение, не е достатъчно да добавим само отрицателната частица „не“. Например отрицанието на „Някои хора са благородни“ не е „Някои хора не са благородни“ (двете твърдения могат да бъдат едновременно истинни), а „Никой човек не е благороден“. Така че освен да се добави „не“ тук е нужно още „някои хора“ да се замени с „никой човек“ (или с „нито един човек“). Отрицанието на „Иван понякога закъснява“ не е „Иван понякога не закъснява“ (двете отново могат да бъдат едновременно истинни), а „Иван никога не закъснява“. Специфика на българския език е, че когато отричаното твърдение е в бъдеще време, вместо „не“ обикновено се използва „няма“. Отрицанието на „Иван ще дойде на срещата“ е „Иван няма да дойде на срещата“.
Универсален начин да получим отрицанието на едно твърдение е като вмъкнем пред него израза „Не вярно, че“ или „Не е такъв случаят, че“. Например отрицанието на „Иван понякога закъснява“ е „Не е вярно, че Иван понякога закъснява“ както и „Не е такъв случаят, че Иван понякога закъснява“.
Съставните изречения често нямат главно сказуемо, пред което да може да се вмъкне отрицателната частица „не“. За да получим отрицанието им, може да поставим в началото им „не е вярно, че“. Например, за да отречем твърдението „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“, бихме могли да използваме
(1) Не е вярно, че кризата ще продължи и данъците ще се увеличат.
Ако началното твърдение („Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“) е представено символно с „p∧q“, (1) ще се представи с „¬(p∧q)“. Скобите са нужни, за да се покаже, че се отрича цялата конюнкция, а не само първият ѝ член, както е при „¬p∧q“. Последният израз отговаря на твърдението „Кризата няма да продължи, а данъците ще се увеличат“. „¬p∧q“ е истинно в един единствен случай (когато p е неистинно, а q е истинно), докато „¬(p∧q)“ е истинно още в два случая – когато p е истинно, а q е неистинно, и когато и двете са неистинни, защото също и тогава твърдението в скобите става неистинно и значи отрицанието му става истинно.
Липсата на скоби в естествените езици понякога е причина изреченията да са двусмислени. Например в (1) изразът „не е вярно, че“, който отговаря на логическия съюз на отрицанието, би могъл да се отнася до целия израз след него („кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“), при което (1) ще отговаря на „¬(p∧q)“, но би могъл да се отнася и само до „кризата ще продължи“, при което (1) ще отговаря на „¬p∧q“. Както видяхме, между двете твърдения има съществена разлика.
Когато в символния език на логиката се отричат съставни изречения, те се заграждат в скоби и пред тях се слага знакът за отрицание, както е при „¬(p∧q)“. Ако след знака за отрицание няма отваряща скоба, отрицанието се отнася до най-близкото изречение след него, както е при „¬p∧q“, където отрицанието се отнася само до „p“. Скоби няма да слагаме в случаите, когато отричаното изречение самото е отрицание. Например отрицанието на „¬p“ е „¬¬p“, а не „¬(¬p)“. Първото отрицание в „¬¬p“ се отнася до „¬p“, тъй като то е най-близкото изречение след него.
Има разлика между твърдения с формата на (1), в които се отрича конюнкцията като цяло („¬(p∧q)“), и твърдения, в които се отричат двата ѝ члена, като е при „Кризата няма да продължи и данъците няма да се увеличат“. Това което казваме с последното изречение може да се изрази и с „нито …, нито …“ – „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“. Изреченията от вида „Нито ..., нито ...“ се представят символно с „¬p∧¬q“. Последният израз ни казва нещо различно от „¬(p∧q)“, тъй като „¬p∧¬q“ е истинно само когато и p, и q са неистинни, докато за истинността на „¬(p∧q)“ е достатъчно само едното от тях да е неистинно. Изречението „Не е вярно, че кризата ще продължи и данъците ще се увеличат“ ще истинно, ако кризата продължи, а данъците не се увеличат, докато „Нито кризата ще продължи, нито данъците ще се увеличат“ ще е неистинно в този случай.
Примери за отрицания:
| ¬p | p |
| Иван е непушач. | Иван е пушач. |
| Никой не се обади. | Някой се обади. |
| Ана никога не идва точно навреме. | Понякога Ана идва точно навреме. |
| Иван още не се е прибрал. | Иван вече се прибра. |
За разлика от „и“, „или“ свързва две изречения в съставно изречение по такъв начин, че ако едното е истинно, а другото е неистинно, съставното изречение е истинно. Например „Кризата ще продължи или данъците ще се намалят“ ще се окаже истинно както ако кризата продължи и данъците не се намалят, така и ако кризата не продължи, а данъците се намалят. Изречението обаче ще е неистинно, ако и двете неща не се реализират, т.е. ако нито кризата продължи, нито данъците се намалят. Що се отнася до четвъртия възможен случай, в който и двете атомарни твърдения са истинни, „или“ има два смисъла – включващ и изключващ – и истинността на съставното твърдение зависи от това, какво се има предвид. Включващото „или“ допуска и двете твърдения да са истинни, а изключващото не. Ако в „Кризата ще продължи или данъците ще се намалят“ „или“ се има предвид във включващ смисъл, изречението ще е истинно, ако кризата продължи и данъците се намалят, но ако се има предвид в изключващ смисъл, ще е неистинно. Само по себе си изречението не показва какво се има предвид. Заради тази двусмисленост на или-изреченията понякога добавяме в края им един от изразите „или и двете“ и „но не и двете“. В примерите, които ще използваме по-нататък, винаги ще предпоставяме, че „или“ има включващ смисъл.
Логическият съюз, на които отговаря включващото „или“, се нарича дизюнкция и се означава с „∨“. Например, ако „p“ представя символно „Кризата ще продължи“, а „q“ – „Данъците ще се намалят“, изречението „Кризата ще продължи или данъците ще се намалят“ ще се представи символно с „p∨q“ (чете се „p или q“ или „p дизюнкция q“). Както беше при конюнкцията и отрицанието, освен самия логически съюз, „дизюнкция“ наричаме и полученото съставно твърдение. Двете свързани в дизюнкция твърдения се наричат дизюнкти.
Дизюнкцията има следната таблица за истинност:
| α | β | α ∨ β |
| И | И | И |
| И | Н | И |
| Н | И | И |
| Н | Н | Н |
Едно изречение с формата на дизюнкция е неистинно само когато и двата му члена са неистинни. В останалите три възможни случая то е истинно.
Както беше и при конюнкцията, при дизюнкцията редът на свързаните изречения е без значение за истинностната стойност на цялото изречение. „Кризата ще продължи или данъците ще се намалят“ и „Данъците ще се намалят или кризата ще продължи“ имат винаги една и съща истинностна стойност.
Освен със съюза „или“ дизюнкция се изразява и с „освен ако“. Изречението
(2) Кризата ще продължи освен ако се намалят данъците.
ще е истинно, ако кризата продължи и данъците не се намалят, както и ако кризата не продължи и данъците се намалят. Тези два случая, при които едното от двете свързвани от „освен ако“ твърдения е истинно, а другото не, съответстват на двата средни реда на таблицата за истинност на дизюнкцията и са в съзвучие с нея. В случая когато и двете твърдения са неистинни, т.е. ако кризата не продължи, въпреки че данъците не са намалени, (2) няма да е истинно. Този случай съответства на последния ред на таблицата на дизюнкцията и отново е в съзвучие с нея. До тук истинностната стойност на „p освен ако q“ зависи от истинностните стойности на p и q точно както е при „p или q“. В четвъртия възможен случай, когато и двете твърдения са истинни, положението е пак както при „или“ – зависи какво има предвид говорещият. Получава се, че „освен ако“ има същото значение като „или“ и следователно, когато е употребено във включващ смисъл, изразява дизюнкция.
Във всекидневния език вероятно бихме вмъкнали едно „не“ след „освен ако“ в (2), което не би променило смисъла на изречението и следователно не изразява отрицание: изреченията „Кризата ще продължи освен ако не се намалят данъците“ и „Кризата ще продължи освен ако се намалят данъците“ казват едно и също нещо. Символното представяне на (2) е „p∨q“, а не „p∨¬q“ („p“ отговаря на „Кризата ще продължи“, а „q“ на „Ще се намалят данъците“). Така че, поне в този случай, „не“-то в „освен ако не“ не изразява отрицание и би могло да се изпусне.3 Има обаче случаи, когато същото това „не“ изразява отрицание. Така е например в следното изречение:
(3) Ще имаме лекция освен ако преподавателят не дойде.
Ако махнем „не“-то, смисълът на (3) ще се промени – „Ще имаме лекция освен ако преподавателят дойде“. За разлика от „Кризата ще продължи освен ако не се намалят данъците“, чието символно представяне е „p∨q“, (3) би трябвало да се представи символно с „p∨¬q“ („p“ отговаря на „Ще имаме лекция“, а „q“ на „Преподавателят ще дойде“). Няма сигурни формални правила за определяне на това, дали „не“-то в „освен ако не“ изразява отрицание, или не изразява нищо – не ни остава друго освен да разчитаме на езиковата си интуицията и контекста.
Също както при конюнкцията, има разлика дали отричаме една дизюнкция като цяло, или само първия ѝ член. За да отречем твърдението „Кризата ще продължи или ще се намалят данъците“, бихме могли да кажем
(4) Не е вярно, че кризата ще продължи или ще се намалят данъците.
Тъй като това което се има предвид в (4) е, че се отрича цялото или-твърдение, символното представяне на (4) би било „¬(p∨q)“. Скобите показват, че отрицанието се отнася до цялата дизюнкция. Изречението „¬(p∨q)“ е истинно само ако p и q са неистинни, защото само тогава изречението „p∨q“ e неистинно, а отрицанието му истинно. Поради липсата на скоби в естествените езици (4) е двусмислено, тъй като бихме могли да го изтълкуваме и като „¬p∨q“ („Кризата няма да продължи или ще се намалят данъците“). За разлика от „¬(p∨q)“, което е истинно само ако p и q са неистинни, „¬p∨q“ е истинно също и ако q е истинно, независимо какво е p.
Заради липсата на скоби в естествените езици също и следното изречение е двусмислено:
(5) Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат или пенсиите ще намалеят.
Ако представим символно „Кризата ще продължи“ с „p“, „Данъците ще се увеличат“ с „q“ и „Пенсиите ще намалеят“ с „r“, (5) може да бъде изтълкувано един път като „(p∧q)∨r“ (т.е. като или-твърдение между и-твърдение и просто твърдение) и втори път като „p∧(q∨r)“ (т.е. като и-твърдение между просто твърдение и или-твърдение). Невъзможно е само от самото изречение да се разбере кой от двата смисъла се има предвид, а твърденията „(p∧q)∨r“ и „p∧(q∨r)“ са много различни. Например, ако p е неистинно, а r е истинно (без значение какво е q), първото твърдение ще е истинно, а второто неистинно. В писмения български език (и другите естествени езици) двусмислеността на изречения като горното може да се елиминира, ако за скоби се използват запетайки (въпреки риска от неспазване на някои установени пунктуационни правила): „Кризата ще продължи и данъците ще се увеличат, или пенсиите ще намалеят“ би отговаряло на „(p∧q)∨r“, а „Кризата ще продължи, и данъците ще се увеличат или пенсиите ще намалеят“ – на „p∧(q∨r)“.
Как да представяме символно твърдения, в които „или“ е изключващо? Изключващото „или“ може да се изрази посредством включващото, като се добави „но не и двете“ в края на изречението – „p или q, но не и двете“. На включващо „или“ отговаря дизюнкция, на „но“ – конюнкция, на „не“ – отрицание. Следователно „p или q, но не и двете“ ще се представи символно с „(p∨q)∧¬(p∧q)“. Тази формула ни казва, че поне едното от двете е истинно („p∨q“) и добавя, че не са истинни и двете („¬(p∧q)“).
Когато в едно изречение от символния език на логиката участват като части конюнкции или дизюнкции, те се заграждат със скоби. Примери: „(p∨q)∧¬(p∧q)“, „(p∧q)∨r“, „p∧(q∨r)“. По същия начин е и в изрази от вида (α∧β)∧γ и (α∧β)∧γ. (Гръцките букви символизират произволни изречения от символния език на логиката.) В последните два израза α, β и γ са свързани единствено с конюнкции и се различават само по групирането със скоби. Независимо обаче какво е групирането, израз, получен чрез свързване на по-прости изрази само с конюнкции, е истинен, когато всички те са истинни, и е неистинен, когато един или повече са неистинни. В примера (α∧β)∧γ и α∧(β∧γ) са истинни само ако α, β и γ са истинни; в противен случай са неистинни. В крайна сметка двата израза имат еднакъв смисъл и той е, че и трите изречения (α, β и γ) са истинни. По същия начин, независимо от групирането със скоби, израз, образуван чрез свързване на изрази само с дизюнкции, е истинен, ако поне един от тях истинен, и е неистинен, ако всички са неистинни. Например както (α∨β)∨γ, така и α∨(β∨γ) са истинни, ако поне едно от α, β и γ е истинно; и са неистинни, ако и трите са неистинни. Двата израза имат еднакъв смисъл, който се свежда до това, че поне едно от α, β и γ е истинно. Тъй като в такива случаи групирането със скоби не е от значение, за удобство понякога ще си позволяваме да не пишем скоби, като ще приемаме, че изразите са групирани със скоби по някакъв начин, но той не е важен за нас. Това ще ни позволи да разглеждаме символни изрази от вида α ∧ β ∧ γ ∧ ... като съответстващи на изречения от естествения език от вида „α и β и γ и …“ и съответно на такива от вида α ∨ β ∨ γ ∨ ... като съответстващи на „α, или β, или γ, или …“.
Примери за дизюнкции:
| p ∨ q | p | q |
| Или беше много шумно, или Иван говореше много тихо. | Беше много шумно. | Иван говореше много тихо. |
| Или кормилният лост се е счупил, или спирачката е отказала. | Кормилният лост се е счупил. | Спирачката е отказала. |
| Това лято ще ходим на едно от двете – планина или море. | Това лято ще ходим на планина. | Това лято ще ходим на море. |
| Свидетелят ще се яви в съда в сряда освен ако мафията не го убие преди това. | Свидетелят ще се яви в съда в сряда. | Мафията ще убие свидетеля преди сряда. |
| (1) Представете символно следните изречения. Предварително посочете с кои букви за твърдения (p, q, r ...) сте представили символно простите твърдения. |
| 1)4 | Тази кола не е мощна, но е много икономична. |
| 2) | Не е такъв случаят, че Павел е виновен, а Иван не. |
| 3) | Волдемор е не само подъл, но и жесток. |
| 4) | Гъбите не са нито животни, нито растения. |
| 5) | Вселената няма край както във времето, така и в пространството. |
| 6) | Утре ще отидем край езерото освен ако не вали. |
| 7) | Няма вече да съм ти приятел освен ако не ми се извиниш. |
| 8) | Това не е станало днес или вчера. |
| 9) | Мария иска и сладолед, и захарен памук, но няма да получи нито едното от двете. |
| 10) | Иван ще отиде на планина или море, със или без Мария. |
| 11) | Или действието е умишлено и извършителят е виновен, или не е умишлено, но е проявена непредпазливост. |