Знакът за равенство („=“) изразява идентичност (тъждество). Твърдението „a=a“ ни казва, че предметът a е идентичен със (един и същ е, не е различен от) самия себе си; „a=b“ – че a и b са всъщност едно и също нещо; „∀х х=х“ – че всяко нещо е идентично със себе си; „∃х х=а“ – че има нещо, което е идентично с а, т.е. че а съществува; и т.н.
Oтляво или отдясно на знака за равенство може да стои индивидна константа или индивидна променлива – константите и променливите са двата вида символи в езика на предикатната логика, с които се обозначават неща (предикатите не обозначават).
a и b са две различни неща, когато не са идентични: ¬a=b. За по-кратко вместо „¬a=b“ ще пишем „а≠b“, т.е. „…≠…“ е съкращение за „¬…=…“.
Добавянето на равенството към езика на предикатната логика става чрез добавяне по едно ново правило към синтаксиса и семантиката ѝ. Синтактичното правило е, че ако i и j са индивидни константи или индивидни променливи (едното може да константа, а другото променлива), то „i=j“ е правилно-образуван израз (формула). Семантичното правило (което както останалите семантичните правила се формулира по отношение на някаква структура, състояща се от универсум на дискурса, интерпретация и даване на стойности на променливите) е, че „i=j“ е истинно в структурата, ако интерпретацията (съответно даването на стойности на променливите) отнася „i“ и „j“ към едно и също нещо в универсума на дискурса; и не е истинно, ако това не е така. Например твърдението „a=b“ ще е истинно в някакъв универсум на дискурса при някаква интерпретация на „a“ и „b“, ако според последната „а“ и „b“ обозначават едно и също нещо, и ще е неистинно, ако обозначават различни неща. Дефинициите за логическо следване, логическа еквивалентност, логическа валидност и т.н. продължават да бъдат същите. Например, логически валидни продължават да са формулите, които са истинни във всеки универсум на дискурса при всяка интерпретация и даване на стойности. Логически валидна е например формулата „∃x x=a“, защото, който и универсум на дискурса да вземем и както и да интерпретираме „а“ в него, винаги ще съществува нещо, което е идентично с нещото, което сме дали като интерпретация на „а“ – а именно самото това нещо.
Знакът за идентичност обогатява езика на предикатната логика. Чрез него могат да се правят твърдения, че съществуват n, най-малко n (поне n) или най-много n неща (от някакъв вид или изобщо), където n е произволно естествено число (1, 2, 3,…). Например „∃х∃у х≠у“ ни казва, че съществуват поне 2 неща. Буквално: „Съществуват x и y, които не са едно и също нещо“. „∀х∀у∀z(х=у ∨ x=z ∨ y=z)“ ни казва, че съществуват най-много 2 неща. Буквално: „Каквито и неща x, y и z да вземем, поне две от тях ще бъдат идентични – по този начин няма как да съществуват три или повече неща.
Ако интерпретираме „F“ като предиката „…е гений“ и ограничим универсума на дискурса върху хората, следните формули ще представят символно следните твърдения от естествения език:
| ∃хFx – Съществува поне един гений. |
| ∀х∀y[(Fx ∧ Fy) → x=y] – Съществува най-много един гений. |
Буквално: „Какъвто и човек x и какъвто и човек y да вземем, ако са гении, те ще са един и същ човек“ – по този начин се твърди, че няма повече от един гения, без да се твърди, че гении съществуват.
| ∃x[Fx ∧ ∀y(Fу → x=y)] – Съществува точно един гений. |
Буквално: „Съществува някакъв човек x, който е гений, и освен това какъвто и човек да вземем, ако е гений, той ще е идентичен с x“ – първата част на изречението гарантира, че гении съществуват, а втората изключва те да са повече от един.
| ∃х∃y(Fx ∧ Fy ∧ x≠y) – Съществуват поне двама гения. |
Буквално: „Има някакъв човек x и някакъв човек y, които са гении, и не са един и същ човек“.
| ∀х∀y∀z[(Fx ∧ Fy ∧ Fz) → (x=y ∨ х=z ∨ y=z)] – Съществуват най-много двама гения. |
Буквално: „Каквито и хора x, y, и z да вземем, ако са гении, то поне двама от тях са един и същ човек“ – така се изключва съществуването на трима гения, без да се предпоставя, че съществува и един.
| ∃x∃y{Fx ∧ Fy ∧ x≠y ∧ ∀z[Fz → (z=x ∨ z=y)]} – Съществуват точно двама гения. |
Буквално: „Съществува някакъв човек x и някакъв човек y, които са гении и не са един и същ човек (до тук се гарантира, че поне двама гения съществуват), и какъвто и човек да вземем, ако е гений, той ще е или x, или y (с това се гарантира, че няма трети гений)“.
По аналогичен начин бихме могли да продължим с 3-ма, 4-ма, ..., 1000, ... и т.н. гения.
Твърдения като „Съществуват точно двама гения“ или „Съществуват най-много двама гения“ не могат да бъдат представени символно без използването на знака за идентичност. Има много други такива твърдения. Такова е например изречението „Съществува човек, който презира всички други хора“. Ако ограничим универсума на дискурса върху хората и представим предиката „…презира…“ с „F“, формулата
| ∃x∀yFxy |
няма да отговаря на изречението „Съществува човек, който презира всички други хора“, а на изречението „Съществува човек, който презира всички хора“ (буквално: „Съществува такъв човек x, че който и човек да вземем, x ще го презира“). В последното се съдържа, че въпросният човек презира и самия себе си (той също е човек). Вмъквайки думата „други“, ние не искаме да кажем това, а искаме да кажем, че съществува човек x, за който е изпълнено, че какъвто и човек да вземем, ако той е различен от x, то x го презира. Буквалният символен запис на последното е следният:
| ∃x∀y(y≠x → Fxy) |
За да прилагаме нашата доказателствена процедура (виж предишната секция) върху изводи, в които участват изречения, съдържащи равенства, е нужно да я снабдим с два допълнителни принципа, които ще наричаме „идентичност със себе си“ и „неразличимост на идентичните“1.
Идентичността със себе си изразява очевидното положение, че всяко нещо е идентично със себе си. Ако „a“ стои на мястото на произволна индивидна константа, принципът е следният:
| Идентичност със себе си: | a = a |
Идентичността със себе си ни дава право в едно доказателство във всеки момент да използваме като аксиоми твърдения от вида на „a=a“, „b=b“, „c=c“ и т.н. Винаги когато пожелаем можем на нов ред да напишем едно такова твърдение, без да е нужно да го извеждаме от други твърдения.
Неразличимостта на идентичните е принципът, че ако a и b са едно и също нещо, то всичко, което е изпълнено за a, ще е изпълнено и за b. Така че, ако a и b стоят на мястото на произволни индивидни константи, а „α(а)“ – на мястото на произволна формула, в която участва a, този принцип отговаря на следната валидна схема за извод:
| Неразличимост на идентичните: | a = b |
| α(a) | |
| α(b) |
a и b могат да участват повече от един път в α(a) и α(b). α(b) е изразът, който е получен от α(a), като едно, няколко или всички участия на a са заменени с b. Обърнете внимание, че не е нужно всички участия на a да са заменени с b. Следните изводи са примери за прилагане на неразличимостта на идентичните.
| a=b |
| Fa |
| Fb |
От това, че a и b са едно и също нещо и a е F, следва, че и b е F.
| b=c |
| Fbc |
| Fcc |
От това, че b и c са едно и също нещо и b се намира в релацията F към c, следва, че c също се намира в релацията F към c, т.е. към себе си.
| a=b |
| ∃z(z≠a ∧ Fza) |
| ∃z(z≠b ∧ Fza) |
Тук α(a) e „∃z(z≠a ∧ Fza)“, а α(b) е „∃z(z≠b ∧ Fza)“. α(b) е получено от α(а), като само първото участие на „a“ в α(a) е заменено с „b“.
Принципите на идентичност със себе и неразличимост на идентичните изразяват всичко, което се съдържа в понятието за идентичност. Това означава, че посредством тези два принципа може да се докаже валидността на всеки логически валиден извод и на всяка логически валидна формула, в която участват равенства. Такива са например следните формули, изразяващи формалните свойства симетричност и транзитивност на отношението на идентичност (виж предишната секция):
| ∀х∀у(x=y → y=x) |
| ∀x∀y∀z[(x=y ∧ y=z) → x=z}] |
Нека докажем тяхната валидност. Първо симетричността на отношението на идентичност:
| 1. ¬∀х∀у(x=y → y=x) допускане |
| 2. ∃х∃у¬(x=y → y=x) от 1. по връзка между кванторите |
| 3. ∃у¬(a=y → y=a) от 2. по EI |
| 4. ¬(a=b → b=a) от 3. по EI |
| 5. a=b ∧ b≠a от 4. по мат. импликация |
| 6. а=b от 5. по симплификация |
| 7. a=a идентичност със себе си |
| 8. b=a от 6. и 7. по неразличимост на идентичните (първото участие на „а“ в „а=а“ е заменено с „b“ въз основа на „a=b“) |
| 9. b≠a от 5. по симплификация – противоречие с 8. |
| 10. ∀х∀у(x=y → y=x) от 1.-9. по свеждане до противоречие |
Доказателство, че отношението на идентичност е транзитивно:
| 1. ¬∀x∀y∀z[(x=y ∧ y=z) → x=z] допускане |
| 2. ∃x∃y∃z¬[(x=y ∧ y=z) → x=z] от 1. по връзка между кванторите |
| 3. ¬[(a=b ∧ b=c) → a=c] от 2. по EI (три пъти)2 |
| 4. a=b ∧ b=c ∧ a≠c от 3. по мат. импликация |
| 5. b=c от 4. по симплификация |
| 6. a=b от 4. по симплификация |
| 7. а=c от 5. и 6. по неразличимост на идентичните |
| 8. a≠c от 4. по симплификация – противоречие с 7. |
| 9. ∀x∀y∀z[(x=y ∧ y=z) → x=z] от 1.-8. по свеждане до противоречие |
Като пример за доказателство на логическата валидност на аргумент от естествения език, в който участва понятието за идентичност, да разгледаме следния извод:
| Шопенхауер не е обичал никого освен кучето си. |
| Кучето на Шопенхауер му е било вярно. |
| Шопенхауер е обичал само тези, които са му били верни. |
Представяме единичните термини „Шопенхауер“ и „Кучето на Шопенхауер“ съответно с „а“ и „b“, и предикатите „…е обичал…“ и „…е бил верен на…“ – съответно с „F“ и „G“. Първата предпоставка може да се перифразира с изречението „Ако Шопенхауер е обичал нещо, това е било кучето му“, което се представя символно с „∀x(Fax → b=х)“. Заключението може да се перифразира с изречението „Ако Шопенхауер е обичал нещо, то му е било вярно“, което се представя с „∀х(Fax → Gxa)“. Така целият извод придобива следния символен вид:
| ∀x(Fax → b=х) |
| Gba |
| ∀х(Fax → Gxa) |
Ето едно доказателство за неговата валидност:
| 1. ∀x(Fax → b=х) |
| 2. Gba / ∀х(Fax → Gxa) |
| 3. ¬∀х(Fax → Gxa) допускане |
| 4. ∃х¬(Fax → Gxa) от 3. по връзка между кванторите |
| 5. ¬(Fac → Gca) от 4. по EI |
| 6. Fac ∧ ¬Gca от 5. по материална импликация |
| 7. Fac → b=c от 1. UI |
| 8. b=c от 6. и 7. по симплификация и модус поненс |
| 9. Gca от 8. и 2. по неразличимост на идентичните |
| 10. ¬Gca от 6. по симплификация – противоречие с 9. |
| 11. ∀х(Fax → Gxa) от 3.-10. по свеждане до противоречие |
Определените описания са изрази като „министър-председателят на България“, „най-дълбокият океан на Земята“, „авторът на Уейвърли“3 и т.н. Това са единични термини, които, подобно на собствените имена, служат за обозначаване на някакви неща, но за разлика от тях имат смисъл и логическа структура. Всяко определено описание съдържа някакъв прост или съставен предикат (в горните примери това са съответно „…e министър-председател на България“, „…е океан, от който няма по-дълбок на Земята“, „…e написал Уейвърли“). Предикатите са общи, а не единични термини. Това което превръща определените описания в единични термини е определителният член в края на предиката – в горните примери това са наставките „-ят“ и „-ът“. Употребата на определителния член показва, че се предпоставя, че предикатът на определеното описание е истинен за един единствен предмет от универсума на дискурса, който се има предвид. Ако означим предикатът с „F“, всяко определено описание може да се перифразира с израза „единственото нещо, което е F“.
Тъй като определените описания са единични термини, досега ги представяхме символно с индивидни константи. Изречението „Авторът на Уейвърли е шотландец“ например бихме представили с „Ga“, където „a“ отговаря на определеното описание „авторът на Уейвърли“, а „G“ – на предиката „шотландец“. Това само по себе си не е неправилно, но има случаи, когато логическата структура на определените описания, която липсва в собствените имена и индивидните константи, е важна за логическата валидност на изводите. Да разгледаме например следния очевидно валиден извод:
| Авторът на Уейвърли е писал само качествени произведения. |
| Уейвърли е качествено произведение. |
Ако представим определеното описание „авторът на Уейвърли“ с индивидна константа, логическата валидност на извода няма да може да бъде показана, тъй като символното му представяне би било следното:
| ∀x(Fax → Gх) |
| Gb |
Предикатите „…е автор на…“ и „…е качествено произведение“ са представени символно съответно с „F“ и „G“, а единичните термин „авторът на Уейвърли“ и „Уейвърли“ – съответно с константите „a“ и „b“. В символното представяне се е загубила връзката между изразите „авторът на Уейвърли“ (представен с „а“) и „Уейвърли“ (представен с „b“), която е от значение за валидността на извода. В подобни случаи е необходимо да бъдат отчетени участващите в определеното описание предикати или единични термини. Теорията за определените описания на Ръсел, която ще изложим след малко, показва как може да стане това.
Определените описания са свързани и с един философско-логически проблем. Подобно на собствените имена в естествените езици, единствената функция на индивидните константи в символния език на логиката („a“, „b“,…) е да обозначават определени неща. В символното представяне на горния извод например индивидната константа „a“ обозначаваше автора на Уейвърли (т.е. Уолтър Скот), а индивидната константа „b“ – романа Уейвърли. Това може да доведе до възгледа, че по принцип единичните термини имат смисъл (употребата им изпълнява някаква функция) само доколкото обозначават някакви неща. Този възглед обаче води до абсурдното следствие, че за да е смислено едно твърдение с формата „a съществува“, то трябва да е истинно. Причината е следната: за да е смислено твърдението, трябва да е смислен съдържащият се в него термин „a“. Но щом смисълът на „а“ е предметът, който обозначава, ако последният не съществува, „а“ няма да има смисъл. Следователно, ако твърдението „а съществува“ е неистинно, то предметът a няма да съществува и името „a“ ще е безсмислено, което прави безсмислено и самото твърдение. Значи последното има смисъл само ако е истинно. Стига се до абсурда, че ако някой твърди за нещо, което е именувал по някакъв начин, че съществува (било то Бог, Баба Яга, най-голямото число и т.н.), никой, който е логичен, не може да не се съгласи с него. В противен случай, казвайки например „Баба Яга не съществува“, би говорил безсмислици.
Този проблем е налице не само в естествения език, но и в символния език на логиката. Изречението „a съществува“ се представя символно с „∃x x=a“ („Съществува нещо, което е идентично с a“). Тъй като всяка възможна интерпретация на „a“ се състои в определянето на нещо от универсума на дискурса, което тази константа обозначава (виж „3.4 Синтаксис и семантика на предикатната логика“), по отношение на всяка интерпретация на „а“ във всеки универсум на дискурса ще е вярно, че съществува нещо, което е идентично с a (а именно самото а) и следователно формулата „∃x x=a“ („a съществува“) ще е истинна във всяка структура, т.е. ще е логически валидна. Ето едно доказателство за логическата ѝ валидност:
| 1. ¬∃x x=a допускане |
| 2. ∀x x≠a от 1. по връзка между кванторите |
| 3. a≠a от 2. по UI |
| 4. a=a идентичност със себе си – противоречие с 3. |
| 4. ∃x x=a от 1.-4. по свеждане до противоречие |
Логическата валидност на „∃x x=a“ означава, че ако използваме само индивидни константи, за да представяме символно единичните термини от естествените езици, за много неща не бихме могли да твърдим, че не съществуват, въпреки че знаем, че е така, защото твърденията за съществуването им се оказват логически истинни и съответно отрицанията им – логически неистинни. Логически неистинни се оказват твърдения като:
| Пегас не съществува. |
| Настоящият крал на Франция не съществува. |
| Най-голямото число не съществува. |
Решение на проблема би било никога да не употребяваме (в твърдения с претенция за истинност) единични термини, които не обозначават съществуващи неща (като „Пегас“ или „настоящият крал на Франция“), защото всеки би могъл да използва горното доказателство, за да докаже, че тези несъществуващи неща съществуват. Как обаче можем винаги да знаем какво съществува и какво не, за да не говорим за несъществуващото?
Класическо решение на този проблем е теорията на Бъртранд Ръсел за определените описания (Russell, 1905)4. Тя е следната. Когато някой твърди нещо използвайки определено описание – да си представим, че сериозно твърди, че настоящият крал на Франция е плешив – той (тя) прави (експлицитно или имплицитно) не едно, а всъщност три твърдения. Първо, смята, че съществува настоящ крал на Франция, т.е. налице е имплицитно твърдение за съществуване. Второ, използването на определителния член „-ят“ показва, че смята, че няма повече от един настоящ крал на Франция, т.е. налице е също имплицитно твърдение за единственост. И трето, смята, че въпросното съществуващо и единствено нещо е плешиво – експлицитното твърдение. Като обединим и представим символно тези три твърдения, получаваме следното:
| (1) | ∃x[Fx ∧ ∀y(Fy → x=y) ∧ Gx] |
„F“ представя символно предиката на определеното описание „…е настоящ крал на Франция“, а „G“ – предиката „…е плешив“. (1) ни казва буквално следното: „Има някакво x, което е крал на Франция („∃x[Fx…“ – твърдението за съществуване); и всяко нещо, което е крал на Франция, е идентично с x („…∀y(Fy → x=y)…“ – твърдението за единственост на краля на Франция); въпросното x е плешиво („…Gx“ – експлицитното твърдение)“. С други думи в (1) се твърди, че съществува крал на Франция, че няма повече от един крал на Франция, и че той е плешив.
Следвайки Ръселовия анализ, изречението „Настоящият крал на Франция съществува“ се анализира като (1), но без последния член на конюнкцията, отнасящ се до плешивостта на краля:
| (2) | ∃x[Fx ∧ ∀y(Fy → x=y)] |
(2) ни казва, че съществува нещо, което е крал на Франция, и че само то е крал на Франция. За разлика от „∃x x=a“, (2) не е логически валиднa формула и спокойно може да бъде отречена, ако искаме да възразим, че, понеже Франция е република, настоящият крал на Франция не съществува:
| (3) | ¬∃x[Fx ∧ ∀y(Fy → x=y)] |
(3) е истинно, ако не съществува настоящ крал на Франция или ако съществуват двама или повече настоящи крале на Франция. За разлика от „¬∃x x=a“, (3) не е безсмислено ако не съществува настоящ крал на Франция, защото индивидната константа „а“ вече я няма – нейната смисленост ни задължаваше да приемем съществуването на обозначаваното от нея нещо. В (3) има само предикати, няма индивидни константи.
По този начин Ръселовият анализ на определените описания решава философско-логическия проблем с единичните термини, които не обозначават нищо, в случаите, когато те са определени описания (като „кралят на Франция“). Анализът обаче може да се приложи и върху всички други единични термини, които не обозначават нищо – например върху собствени имена като „Пегас“ или съдържащи местоимения изрази като „този човек в далечината“ (може само да ми се е сторило, че в далечината има човек). За целта е достатъчно да перифразираме въпросните единични термини с определени описания. Самият Ръсел смята, че всички собствени имена са скрити определени описания, но дори и да не приемаме тази малко крайна теза, винаги можем да намерим определено описание, с което дадено собствено име или друг единичен термин да могат да бъдат заместени в дадения контекст. Например бихме могли да перифразираме „Пегас“ с „крилатият кон уловен от грък на име Белерофонт“; „този човек“ – с „човекът, който стои в момента в далечината“ и т.н. След като единичният термин бъде заменен с определено описание, символното представяне на твърдението, от което е част, става съгласно Ръселовия анализ.
Освен че решава философско-логическия проблем с изразите, обозначаващи несъществуващи неща, Ръселовата теория за определените описания дава възможност да доказваме изводи, чиято валидност зависи от съдържащите се в определените описания предикати или единични термини, като този за автора на Уейвърли по-горе. Както видяхме изводът
| Авторът на Уейвърли е писал само качествени произведения. |
| Уейвърли е качествено произведение. |
не може да бъде анализиран адекватно, без да се навлезе в структурата на определеното описание „авторът на Уейвърли“. Теорията за определените описания показва как да стане това. Като представим „Уейвърли“ с „a“, „…е написал…“ – с „F“ и „…е качествено произведение“ – с „G“ и приложим Ръселовия анализ, символното представяне на извода би било следното:
| ∃x[Fxa ∧ ∀y(Fya → y=x) ∧ ∀z(Fxz → Gz)] |
| Ga |
Предпоставката ни казва буквално следното: „Съществува x, което е написало Уейвърли; всяко нещо, което е написало Уейвърли, е идентично с x; и всяко нещо, което x е написало, е качествено произведение“. Логическата валидност на извода сега вече може да бъде показана:
| 1. ∃x[Fxa ∧ ∀y(Fya → y=x) ∧ ∀z(Fxz → Gz)] / Ga |
| 2. Fba ∧ ∀y(Fya → y=b) ∧ ∀z(Fbz → Gz) от 1. по EI |
| 3. ∀z(Fbz → Gz) от 2. по симплификация |
| 4. Fba → Ga от 3. по UI |
| 5. Fba от 2. по симплификация |
| 6. Ga от 4. и 5. по модус поненс |
| (1) Представете символно твърденията: |
| 1) | Съществуват най-малко трима мъдреци. |
| 2) | Съществуват най-много трима мъдреци. |
| 3) | Съществуват точно трима мъдреци. |
| (2) Представете символно твърденията, като използвате дадените означения: |
| 1) | Никой не обича друг освен себе си. (F – …обича…; D – хората) |
| 2) | Всеки обича някой друг. (като горното) |
| 3) | Има нещо, което е по-съвършено от всичко освен от самото себе си. (F – …е по-съвършено от…) |
| 4) | Нищо не е против Бог освен Бог самият. (F – …е против…, a – Бог) |
| 5) | По отношение на всяко нещо има друго, по-съвършено от него. (F – …е по-съвършено от…) |
| 6) | Ако нещо е по-съвършенo от всичко освен от самото себе си, то това е Бог. (F – …е по-съвършено от…, а – Бог) |
| 7) | Никой, който мисли доброто на всеки освен на самия себе си, не е егоист. (F – …мисли доброто на…, G – …е егоист; D – хората) |
| 8) | Никой не уважава някой, който не уважава никой освен себе си. (F – …уважава…; D – хората) |
| 9) | Ако две неща са различни, то едното притежава свойство, което другото не притежава. (F – …е свойство, G – …притежава…) |
| 10) | Петър уважава единствено Мария и Иван. (F – …уважава…, а – Петър, b – Мария, c – Иван) |
| (3) Докажете валидността на изводите, като използвате означенията: |
| 1) | Иван плува по-бързо от треньора на отбора. | |
| Никой не плува по-бързо от самия себе си. | ||
| Иван не е треньорът на отбора. | ||
| F – …плува по-бързо от…, а – Иван, b – треньора на отбора | ||
| 2) | Никой няма достъп до охранителните камери освен управителя и шефа на охраната. | |
| Документите са откраднати от някой, който има достъп до охранителните камери. | ||
| Управителят или шефът на охраната са откраднали документите. | ||
| F – …има достъп до охранителните камери, G – …е откраднал документите, a – управителят, b – шефът на охраната; D – хората | ||
| (4) Докажете следните логически еквивалентности: |
| 1) | ∀x(a=x → Fx) ⇔ Fa |
| 2) | ∃x(Fx ∧ x=a) ⇔ Fa |
| (5) Представете символно твърденията, като използвате означенията. |
| 1) | Жената на Иван обича цветя. (F – …e жена на…, G – …обича цветя, i – Иван) |
| 2) | Бащата на Мария, познава Иван. (F – …е баща на…, G – …познава…, m – Мария, i – Иван; D – хората) |
| 3) | Този град, в който аз съм роден, за мнозина навярно е скучен. (F – …е град, G – …е роден в…, H – …за мнозина навярно е скучен, а – аз) |
| 4) | Замъкът, в който е роден Дракула, се намира в Карпатите. (F – …е замък, G – …е роден в…, H – …се намира в…, d – Дракула, k – Карпатите) |
| 5) | Шахматистът, който никой компютър не може да победи, е унгарец. (F – …е шахматист, G – …е компютър, H – …може да победи…, I – …е унгарец) |
| 6) | Ако авторът на Уейвърли е шотландец, то и авторът на Айвънхоу е шотландец. (F – …е автор на…, G – …е шотландец, w – Уейвърли, i – Айвънхоу) |
| (6) Докажете валидността на изводите, като използвате означенията: |
| 1) | Авторът на Уейвърли е написал Айвънхоу. | |
| Има някой, който е написал и двете – Айвънхоу и Уейвърли. | ||
| (F – …е написал…, w – Уейвърли, i – Айвънхоу) | ||
| 2) | Сопраното, което слушах снощи, изпълни арията на Царицата на нощта. | |
| Всеки, който изпълнява тази роля, взима фа от трета октава. | ||
| Някои сопрана взимат фа от трета октава. | ||
| (F – …е сопрано, G – аз слушах снощи…, H – …изпълни арията на Царицата на нощта, I – …взима фа от трета октава; D – хората) | ||