В символиката на предикатната логика освен буквите за предикати („F“, „G“, „H“,…) и индивидните константи („a“, „b“, „c“,…) има още един вид символи, които играят важна роля. Това са така наречените индивидни променливи, или накратко само променливи. Променливите приличат много на индивидните константи, защото като тях обозначават (реферират) неща от света, но за разлика от тях го правят по неопределен начин. Повечето хора имат директен досег с променливи в училище, тъй като буквите „x“, „y“, „z“,… в аритметическите уравнения са именно индивидни променливи, които по неопределен начин обозначават някое (което и да е) число. Променливите обаче не сe ограничават до числата – те могат по същия неопределен начин да обозначават всякакви неща – било то абстрактни (като множества, свойства, фигури, и т.н.), било то конкретни (като Сократ, този стол и т.н.). Поради близостта им с единичните термини променливите могат да бъдат поставяни в същите празни места в предикатите, в които поставяме единични термини, за да образуваме атомарни твърдения1. Затова в обратен ред, тръгвайки от едно атомарно твърдение, бихме могли да заменим някои от единичните термини в него с променливи. Като резултат (заради неопределения начин на рефериране на променливите) изречението ще престане да бъде твърдение, т.е. ще престане да бъде истинно или неистинно. Ето един пример:
| (1) | София е на запад от Варна. |
Това е едно атомарно твърдение, което се състои от два единични термина („София“ и „Варна“) и един двуместен предикат („…е на запад от…“). Ако представим „София“ и „Варна“ съответно с „а“ и „b“, а предиката – с „F“, неговото символно представяне би било:
| (2) | Fab |
Сега на мястото на единичния термин „София“ в (1), съответно на мястото на „a“ в (2), ще поставим променливата „x“. Получаваме изречението
| (3) | x е на запад от Варна. |
което има символното представяне
| (4) | Fxb |
За разлика от „София“ (съответно от „a“), променливата „x“ в (3) и (4) не обозначава нашата столица, а обозначава по неопределен начин което и да е нещо. Можем да си представяме, че пробягва по всичко и никога не се спира на определено нещо. Нещата, по които пробягва една променлива, са стойностите, които може да приема. Тъй като „x“ не обозначава нещо определено, (3) (съответно (4)) не е нито истинно, нито неистинно. То е истинно за някои стойности на „x“, като например София, Алпите или Атлантическия океан, и е неистинно за други, като Черно море, Грузия или Хималаите (първите са на запад от Варна, а вторите не са), но самото не е нито истинно, нито неистинно. Такива изречения, които не са нито истинни, нито неистинно, защото в тях има променлива, се наричат „отворени изречения“. Така че (3) е едно отворено изречение. (Съответно (4) е символното представяне на едно отворено изречение.)
Сега пред отвореното изречение (3) ще поставим следния израз:
| (5) | за някакво x важи, че |
Като резултат получаваме:
| (6) | За някакво x важи, че x е на запад от Варна. |
(6) не казва нещо различно от „Нещо е на запад от Варна“, или „Съществува нещо, което е на запад от Варна“ или „На запад от Варна има нещо“. В тези три изречения, за разлика от отвореното изречение (3), „x“ изобщо не се споменава. Тъй като (6) има същия смисъл като тях, то не е отворено изречение, a е твърдение (при това истинно). Изразът (5) се нарича „екзистенциален квантор“ и се представя символно с „∃x“. Съответно символното представяне на (6) е
| (7) | ∃xFxb |
Твърдението (6) (символното му представяне (7)) беше получено като екзистенциалният квантор „за някакво x важи, че“ (символното му представяне „∃x“) свърза променливата „x“ в отвореното изречение (3) (символното му представяне (4)). Поради това за променливата „x“ в (6) и (7) се казва, че е „свързана“, докато за променливата „x“ в (3) и (4), към която не се отнася квантор, се казва, че е „свободна“. Когато в едно изречение няма променливи или има, но всички те са свързани от квантори, както е в (6), то изречението не е отворено изречение, а е (истинно или неистинно) твърдение. В естествените езици свързаните променливи изобщо не се изговарят. Никой във всекидневния език не би изказал нещо подобно на (6), говорейки за x, y и т.н., а би казал например „Съществува нещо на запад от Варна“. Двете твърдения обаче имат едно и също значение.
Всеки квантор имат „обхват“. Това е изразът, който изразява условието, въвеждано чрез „че“ в „за някакво нещо x важи, че“. Например в (6) обхватът на квантора е отвореното изречение „x е на запад от София“. Съответно в символното му представяне „∃xFxb“ обхватът на квантора „∃x“ е „Fxb“. Когато дадена свободна променлива е в обхвата на квантор със същата променлива, кванторът свързва променливата и от свободна тя става свързана.
Във всекидневния език екзистенциалният квантор се изразява по най-различни начини – „съществува“, „има“ (в смисъла на „съществува“), „нещо“, „някой“ („някоя“, „някое“ и т.н.), „един“, „някакъв“, с отрицание – „нищо“, „никой“ и др.
Нека продължим с нашия пример. В (6) стигнахме до твърдение, което на всекидневен език бихме перифразирали с „Нещо е на запад от Варна“ и което се представя символно с „∃xFxb“. Сега, ако заменим единичния термин „Варна“ в него с променливата „y“, ще получим изречението
| (8) | Нещо е на запад от y. |
чието символно представяне е
| (9) | ∃xFxy. |
Това изречение не е твърдение, а отворено изречение заради участието на свободната променлива „y“ в него. В зависимост от стойностите, които тази променлива приема, (8) и (9) ще стават ту истинни, ту неистинни2; сами по себе си обаче те не са нито истинни, нито неистинни. Променливата „y“ е свободна в (9), въпреки че е в обхвата на квантора „∃x“, защото променливата на квантора е друга („x“). Положението щеше да е различно, ако в (9) имахме „∃xFxx“. Последният израз ни казва, че за някакво x важи, че е на запад от x, т.е. от самото себе си, с други думи „∃xFxx“ е символното представяне на изречението „Нещо е на запад от себе си“. Тъй като кванторът в този случай свързва и двете участия на „x“, „∃xFxx“ представя символно твърдение (макар и неистинно).
Свободната променлива „y“ в (8) и (9) може да бъде свързана от нов екзистенциален квантор, чиято променлива е „y“ (т.е. от израза „за някакво y важи, че“), в резултат на което ще получим тривиално истинното твърдение
| Нещо е на запад от нещо. |
(буквално „За някакво y и някакво x важи, че x е на запад от y“) със символно представяне
| ∃y∃xFxy |
От синтактична (граматическа) гледна точка кванторите са като отрицанието. Конвенцията при отрицанието беше, че ако след него няма отваряща скоба, то се отнася до най-близкото изречение от дясната му страна, а ако има – до израза в скобите. По същия начин, ако след един квантор няма отваряща скоба, обхватът му е най-близкото изречение отдясно, а ако има, е изразът в скобите. В тази връзка нека разгледаме следните три символни израза:
| (10) | ∃xFx ∧ ∃xGx |
| (11) | ∃xFx ∧ Gx |
| (12) | ∃x(Fx ∧ Gx) |
В първия имаме два квантора „∃x“, след които няма скоби, така че техният обхват е най-близкото изречение отдясно. При първия това е отвореното изречение „Fx“, а при втория – „Gx“. Кванторите свързват двете участия на променливата „x“ в „Fx“ и „Gx“, така че в целия израз няма свободни участия на променливи и изразът представя символно твърдение с формата на конюнкция, което ни казва, че има нещо, което е F, и нещо, което е G. Например, ако „F“ представя символно предиката „…e кръгло“, а „G“ – „…е квадратно“, (10) ще отговаря на истинното твърдение „Нещо е кръгло и нещо е квадратно“. За разлика от (10) в (11) има само един квантор. Неговият обхват отново е „Fx“, така че първото участие на променливата „x“ е свързано от него. Второто участие на „x“ обаче остава свободно, тъй като обхвата на квантора не стига до него и не го свързва. Така че (11) представя символно отворено изречение, а не твърдение, а именно (при същата интерпретация на „F“ и „G“) отвореното изречение „Нещо е кръгло и x квадратно“. Последното не е нито истинно, нито неистинно, защото остава неопределено кое е това x, за което се говори. В (12), също както в (11), има само един квантор, но има и скоби след него, които показват, че обхватът му е цялата конюнкция „Fx ∧ Gx“. По този начин променливата на квантора се отнася не само до първото участие на „x“ в конюнкцията, но и до второто, в резултат на което (12) ни казва, че има някакво x, такова, че x е F и x е G“, с други думи – че има нещо, което е едновременно F и G. При горната интерпретация (12) изразява неистинното твърдение „Нещо е кръгло и квадратно“.
Когато в един израз няма квантор в обхвата на друг квантор, е напълно безразлично коя е променливата на квантора – дали е „x“, „y“,… и т.н. „∃xFx“, „∃yFy“и „∃zFz“ имат напълно еднакво значение. Ако „F“ пак e „кръгло“, и трите изречения ни казват, че има нещо, което е кръгло. Причината е, че посредством свързаните променливи никога не обозначаваме определено нещо, а винаги говорим по принцип – в дадения случай казваме, че съществува някакво нещо (да го наречем „x“, „y“ или „z“ – все едно), такова, че това нещо (въпросното „x“, „y“ или „z“) е F. Всяка променлива се отнася неопределено до всяко от съществуващите неща, така че е все едно коя променлива използваме. Единственото нещо, което е важно в такива случаи, е променливата на квантора и променливата в обхвата на квантора да са едни и същи. В тази връзка изразът „∃xFx ∧ ∃xGx“, който по-горе интерпретирахме като твърдението „Има нещо кръгло и нещо квадратно“ би могъл напълно еквивалентно да бъде заменен с „∃xFx ∧ ∃yGy“, или с „∃yFy ∧ ∃xGx“, или с „∃zFz ∧ ∃zGz“ и т.н. – всички те представят символно едно и също твърдение.
Но щом е все едно, защо изобщо използваме различни променливи, а не само „x“? Отговорът е, че понякога се налага да са различни, когато квантор се намира в обхвата на друг квантор. Тогава пак е все едно кои ще бъдат точно, но трябва да са различни. Така беше в примера по-горе, където интерпретирахме „∃y∃xFxy“ като „Нещо е на запад от нещо“. Ако решим да заместим навсякъде „y“ с „x“, ще получим „∃x∃xFxx“. Този израз вече не ни казва тривиалната истина, че нещо е на запад от нещо, а тривиалната неистина, че нещо е на запад от себе си, като първият квантор е излишен. Причината за последното е, че обхватът на втория квантор е „Fxx“, поради което той свързва и двете участия на „x“ (преди този квантор не свързваше свободното участие на „y“ в „Fxy“, защото променливата му е друга). Като резултат „∃xFxx“ е твърдение, а не отворено изречение, което ни казва, че има някакво x, което се намира на запад от x, т.е. от себе си. По този начин за първия квантор няма свободна променлива, която да свърже, и става излишен – изразен на естествен език „∃x∃xFxx“ ни казва, че има някакво нещо, такова, че някакво нещо е на запад от себе си. В същото време, стига двете променливи да са различни и да са разположени по същия начин една спрямо друга, е все едно какви точно ще са те – освен с „∃y∃xFxy“, това, че нещо е на запад от нещо, може да се изрази еднакво добре с „∃x∃yFyx“, или с „∃y∃zFzy“, или с ∃z∃xFxz“ и т.н.
Освен с думи като „нещо“, „съществува“, „има“ и т.н. в естествените езици екзистенциален квантор се предава и с неопределителен член. В много езици (като английския например) определителният и неопределителният член са специална категория думи3, които стоят пред съществителните фрази. На английски това са „the“ (определителен член) и „a“ (неопределителен член), например „the woman“, „a woman“. Своеобразност на българския език, която донякъде затруднява логическия анализ, е, че определителният и неопределителният член не са думи. На български определителният член се изразява чрез наставки (например „жена-та“, „мъж-ът“, „дете-то“), а неопределителният обикновено липсва (както е в изречението „Детето видя заек“) или се дублира с друга категория думи, числителните, и по-специално с думите „един“, „една“, „едно“… (например „Детето видя един заек“). Функцията на неопределителен член изпълнява и местоимението „някакъв“ („някаква“, „някакво“), например „Детето видя някакъв човек“. От логическа гледна точка неопределителният член изразява екзистенциален квантор. Това, което донякъде затруднява символното представяне на твърденията, в които по смисъл има неопределителен член, на български, е, че често той или липсва, или се предава със същата дума, с която се обозначава числото 1. Значението на неопределителния член обаче е различно от значението на думата, с която се обозначава числото 1 (думата „едно“). Например в изречението „В джоба си имам не един, а два жълъда“ „един“ не изразява неопределителен член, а обозначава числото 1. Това се вижда от факта, че „едно“ не може нито да се изпусне („В джоба си имам не, а два жълъда“), нито да се замени с думата „някакъв“ („В джоба си имам не някакъв, а два жълъда“). Изобщо замяната на „едно“ с „някакъв“ („някаква“, „някакво“) или добавянето на „някакъв“, ако няма нищо, може да се използва като тест за проверка, дали по смисъл в изречението е налице неопределителен член. Когато такъв по смисъл е налице, но е премълчан, добавянето на „някакъв“ прави съществуването му явно. От друга страна, когато „едно“ се употребява като обозначаващо числото 1, замяната му с „някакъв“ е невъзможна.
Символното представяне на твърдения, в които по смисъл има неопределителен член, става по следния начин. Нека „F“ и „G“ представят символно съответно предикатите „…е заек“ и „…видя…“, а „а“ – единичния термин „детето“. Тогава твърдението „Детето видя заек“, или „Детето видя един заек“, или „Детето видя някакъв заек“, се представя символно с
| (13) | ∃х (Fx ∧ Gax) |
Символният израз буквално ни казва, че има нещо, което е заек и което детето е видяло („За някакво х важи, че х е заек и че детето видя x“). По подобен начин твърдението „Иван подари пръстен на Ана“, в което неопределителният член е изпуснат, може да се представи символно с
| (14) | ∃х (Fx ∧ Gixa) |
където „F“ представя „…е пръстен“, „G“ – „…подари…на…“, „i“ – „Иван“ и „a“ – „Ана“. Символният израз буквално ни казва, че има нещо, което е пръстен и което Иван е подарил на Ана.
Може да възникне въпросът защо съществителни с неопределителен член (бил той изпуснат или не) не се представят символно с индивидни константи. Защо например при символното представяне на „Детето видя един заек“ не означим „един заек“ с индивидна константа, представяйки това твърдение например с „Fab“, където (както в (13)) „F“ и „a“ представят символно „…видя…“ и „детето“, но за разлика от (13) „един заек“ е представено с „b“. Отговорът е, че „един заек“, или „някакъв заек“, не обозначава определено нещо, както е при единичните термини (например „Сократ“ или „заекът“4). Това се вижда ясно от следното. Твърдението „Детето видя заека и не видя заека“ е очевидно противоречие. Причината е, че „заека“ е единичен термин, поради което в даден контекст обозначава точно определен предмет и за този предмет не може да е изпълнено и да не е изпълнено едно и също нещо. Напротив, ако в същото твърдение заменим „заека“ с „един заек“, ще получим твърдение, което не само не е противоречиво, но е истинно, ако детето е видяло поне един заек – а именно твърдението „Детето видя един заек и не видя един заек“. В случай че детето е видяло някакъв (какъвто и да е) заек, първият член на тази конюнкция би бил истинен. Вторият ѝ член би бил истинен, ако съществува поне един заек, когото детето не е видяло, което със сигурност е истинно. Това твърдение не е противоречиво, за разлика от варианта със „заекът“, защото изразът „един заек“ не обозначава точно определено нещо, както правят единичните термини, поради което може да се отнася в един и същ контекст до повече от едно неща, както е в последното изречение. Същото поведение впрочем различава думата „нещо“ от който и да е единичен термин, a „нещо“, както вече знаем, изразява екзистенциален квантор („Нещо е на запад от нещо“). Твърдението „Фигурата е окръжност и фигурата не е окръжност“ е логическо противоречие, но ако заменим единичния термин „фигурата“ с думата „нещо“, противоречието се превръща в тривиална истина – „Нещо е окръжност и нещо не е окръжност“. Причината отново е, че думата „нещо“, за разлика от единичните термини, не обозначава определено нещо.
Освен екзистенциален има и универсален квантор. Докато значението на екзистенциалния квантор е, че съществува поне едно нещо , за което е изпълнено определено условие, значението на универсалния квантор е, че за всяко нещо е изпълнено определено условие. Универсалният квантор се представя символно с „∀х“ (съответно „∀у“, „∀z“,…). Ако например „F“ представя символно предиката „…е равно на…“, „∀хFxx“ ще е символното представяне на твърдението „Всяко нещо е равно на себе си“ (буквално – „За всяко х важи, че х е равно на х“).
Твърденията, започващи с универсален квантор, се наричат „универсални твърдения“, а тези, започващи с екзистенциален квантор, „екзистенциални твърдения“.
Както знаем, традиционната логика се ограничава до твърденията със субект-предикатна форма, наричани още „категорични“, и ги разделя на четири подвида – общо-утвърдителни (А), общо-отрицателни (Е), частно-утвърдителни (I) и частно-отрицателни (О). Нека видим как се изразяват тези твърдения в символния език на предикатната логика.
Стандартната форма едно общо-утвърдително твърдение е „Всяко F е G“ (например „Всеки човек е благороден“). То може да бъде перифразирано с изречението „Ако нещо е F, то е и G“ („Ако нещо е човек, то е благородно“). Като перифразираме отново последното изречение, така че да стане явен съдържащият се в него универсален квантор, получаваме изречението „За всяко нещо е изпълнено, че ако е F, то то е и G“, което, изразено с променливи, придобива вида „За всяко x важи, че ако x е F, то x е G“, т.е.
| ∀x (Fx → Gx) |
Това е стандартният начин, по който се представят символно общо-утвърдителните категорични твърдения в предикатната логика.
Да видим как стоят нещата с общо-отрицателните твърдения. Всяко изречение с формата „Нито едно F не е G“ (например „Нито един човек не е благороден“) може да се перифразира с изречението „Ако нещо е F, то не е G“ („Ако нещо е човек, то не е благородно“), което, след като кванторът се направи експлицитен, се превръща в изречението „За всяко x важи, че ако x e F, то x не е G“, т.е.
| ∀x (Fx → ¬Gx) |
Значението на твърдение с формата „Някои F са G“ (т.е. на едно частно-утвърдително категорично твърдение) е, че съществува поне едно F, което е G (по конвенция тук множественото число не изразява множественост). Но ако съществува поне едно F, което е G, ще съществува и поне едно G, което е F (например, ако има поне един човек, който е благороден, ще има и поне едно благородно същество, което е човек – същият този благороден човек)5. Следователно вместо да казваме, че има поне едно F, което е G, или че има поне едно G, което е F, можем да кажем, че съществува поне едно нещо, което е едновременно F и G (например, че съществува поне едно нещо, което едновременно е човек и е благородно). Като направим експлицитна съдържащата се в това казване променлива, получаваме твърдението „Съществува поне едно x, такова, че x е F и x е G“. Следователно всяко твърдение от вида „Някои F са G“ може да се представи символно с
| ∃x (Fx ∧ Gx) |
По същия начин едно частно-отрицателно твърдение (в стандартна форма „Някои F не са G“) може да се перифразира с „Има поне едно нещо, което F и не е G“, т.е. „Има поне едно x, такова, че x е F и x не е G“. Така получаваме, че всяко твърдение от вида „Някои F не са G“ може да се представи символно с
| ∃x (Fx ∧ ¬Gx) |
Следващата таблица обобщава стандартния начин, по който категоричните твърдения се представят символно в предикатната логика:
| общо-утвърдителни (Всяко F e G) | ∀x (Fx → Gx) |
| общо-отрицателни (Нито едно F не е G) | ∀x (Fx → ¬Gx) |
| частно-утвърдителни (Някои F са G) | ∃x (Fx ∧ Gx) |
| частно-отрицателни (Някои F не са G) | ∃x (Fx ∧ ¬Gx) |
Това не е единственият начин за символно представяне на категоричните твърдения в предикатната логика. Друг, алтернативен начин за представяне е следствие от факта (известен ни от логическия квадрат в традиционната логика), че общо-утвърдителното (А) твърдение е отрицание на частно-отрицателното (О) твърдение и че общо-отрицателното (Е) твърдение е отрицание на частно-утвърдителното (I) твърдение. Поради този факт, ако сложим отрицание пред стандартното символно представяне на частно-отрицателните твърдения (последния ред от таблицата), ще получим алтернативен начин за символно представяне на общо-утвърдителните твърдения посредством екзистенциален, а не универсален квантор:
| ¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) |
Интуитивно, последният израз отговаря не по-зле на смисъла на общо-утвърдителните изречения от стандартното символно представяне. Това което ни казва е, че няма нещо, което да е F и да не е G – да се каже, че не съществува човек, който не е благороден, е все едно да се каже, че всички хора са благородни. По същия начин отрицанието на стандартното символно представяне на частно-утвърдителните изречения „¬∃x(Fx ∧ Gx)“ ни казва, че не съществува нещо, което е едновременно F и G. Да се каже, че не съществува човек, който е благороден, е все едно са се каже, че нито един човек не е благороден. Ситуацията е аналогична и при отрицанията на стандартните представяния на общите твърдения. „¬∀x(Fx→Gx)“ е алтернативен начин за символно представяне на частно-отрицателните, а „¬∀x(Fx→¬Gx)“ – на частно-утвърдителните изречения.
При символното представяне на твърдения от естествения език е важно е да се има предвид, че там четирите категорични твърдения (А, Е, I и О) много често се срещат във форма, различна от стандартната, която е „Всяко F е G“ за A-твърденията, „Нито едно F не е G“ – за E-твърденията, „Някои F са G“ – за I-твърденията и „Някои F не са G“ – за O-твърденията. Това важи с особена сила за общо-утвърдителните твърдения. Някои често срещани начини за изразяване на категорични твърдения, различни от стандартните им форми са следните.
„Котката е бозайник“ не е атомарно твърдение, каквото е „Президентът е жена“, въпреки че външно двете имат напълно еднаква форма. Първото е еквивалентно на „Всички котки са бозайници“ и би трябвало да се представи символно с израз от вида “∀Fx→Gx”, докато второто би трябвало да се представи символно с израз от вида “Fa”.
Както при импликацията в пропозиционалната логика, където добавянето на думата „само“ разменя местата на антецедента и консеквента (виж), добавянето на „само“ пред едно общо-утвърдително твърдение разменя местата на субекта и предиката в него. Изразено в стандартна форма, „Хората са благородни“ е твърдението „Всички хора са благородни“, но „Само хората са благородни“ вече е твърдението „Всички благородни (същества) са хора“ – добавянето на „само“ има ефекта „човек“ и „благороден“ да разменят местата си. Изобщо твърдения с формата „F-овете са G“ („Хората са благородни“) се перифразират в стандартна форма с „Всяко F е G“ или „Всички F са G“ („Всички хора са благородни“), докато твърдения с формата „Само F-овете са G“ („Само хората са благородни“) се перифразират в стандартна форма с „Всяко G е F“ или „Всички G са F“(„Всички благородни (същества) са хора“). По същия начин да се каже „Ако нещо е F, то е G“ е същото като да се каже „Всяко F е G“, обаче „Само ако нещо е F, то е G“ е еквивалентно на „Всяко G е F“. Приликата с импликацията съвсем не е случайна. Както видяхме в стандартното символно представяне на А-твърденията участва импликация („∀x(Fx→Gx)“). Изрази като „∀x(Fx→Gx)“ (универсално твърдение с обхват на квантора – импликация) понякога се наричат „формални импликации“.
Понятията за необходимо и достатъчно условие са тясно свързани с общо-утвърдителните изречения. Изречението „Всяко F е G“ може да се перифразира с изречението „Да бъдеш F е достатъчно условие за това, да бъдеш G“ – ако е вярно, че всички хора са благородни, то да си човек е достатъчно условие за това, да си благороден (ако си човек, това ще е гаранция, че си и благороден), и обратно – ако да бъдеш човек е достатъчно условие за това, да бъдеш благороден, то със сигурност всички хора са благородни. От друга страна „Всяко F е G“ може да се перифразира и с „Да бъдеш G е необходимо условие за това, да бъдеш F“ – ако е вярно, че всички хора са благородни, то да си благороден е необходимо условие за това, да си човек (ако не си благороден, няма как да си човек), и обратно – ако да си благороден е необходимо условие за това, да си човек, то ако си човек, ще си благороден. Получава се, че изразяваното от субекта на едно общо-утвърдително твърдение е достатъчно условие за изразяваното от предиката му и че изразяваното от предиката му е необходимо условие за изразяваното от субекта му.
По-нататък, изречения от вида „Нищо не е F освен ако не е G“ също имат смисъла на „Всяко F e G“. Изречението „Нищо не е човек освен ако не е благородно“ има смисъла на „Всеки човек е благороден“, защото ни казва, че да си благороден е необходимо условие за това, да си човек, а както видяхме в горния параграф „G е необходимо условие за F“ се перифразира с „Всяко F e G“.
Същото значение като „Всяко F е G“ има и изречението „Няма F, което да не е G“. Вместо „Всички хора са благородни“ бихме могли да кажем „Няма човек, който не е благороден“. Второто изречение съответства на алтернативния начин за символно представяне на общо-утвърдителните твърдения, споменат по-горе. Тъй като А-твърдението е отрицание на O-твърдението, освен по стандартния начин с „∀x(Fx→Gx)“, А-твърдението се представя символно и с „¬∃x(Fx∧¬Gx)“, т.е. „Няма F, което да не е G“.
Изречението „Всички хора са смъртни“ съдържа предиката “…е човек”, на който в “∀x(Fx→Gx)” отговаря “F”. Понякога обаче „човек“ присъства само имплицитно заради употребата на „всеки“ („всяка“, …), „някои“, „никой“ и т.н. Например в изречението „Някой харесва Сократ“ очевидно се има предвид, че го харесват един или повече хора, а не че го харесват едно или повече неща (хора или не). Затова, ако го представим символно с „∃xFxa“ (където „F“ отговаря на „…харесва…“), формулата по-скоро ще представя символно изречението „Нещо харесва Сократ“ (по принцип “x” приема като стойности всички неща). Затова, бихме могли да добавим допълнителна буква за предикат към символния израз (да кажем „G“) за „…е човек“ по следния начин: „∃x(Gx ∧ Fxa)“. Формулата вече отговаря точно на значението на изречението, тъй като ни казва, че има нещо, което е човек и което харесва Сократ. По същия начин изглежда неправилно да представим символно „Всеки харесва Сократ с „∀xFxa“, тъй като формулата ни казва, че всичко (включително неодушевените неща) харесва Сократ. Отново бихме могли да използваме допълнителна буква за предикат за „човек“ или (в зависимост от контекста) например за „жител на Атина“ и т.н. Този път обаче, тъй като кванторът е универсален, трябва да я добавим не с конюнкция, а с импликация: „∀x(Gx→Fxa)“. Последният израз ни казва, че за всяко нещо x важи, че ако x е човек, то x харесва Сократ; с други думи, всеки човек харесва Сократ.
Алтернативно, вместо да добавяме подразбиращия се предикат, можем да ограничим областта от обекти, върху които пробягват променливите ни. Такова ограничаване е в съзвучие с факта, че често дискусията е ограничена до определена област от неща. Например, предметът на някакъв разговор между математици би могъл да е ограничен само до числата, само до геометричните фигури и т.н. По същия начин разговор между биолози би могъл да е ограничен само до растенията, до определен вид растения и т.н. Съвкупността от нещата, които са предмет на дискусията, се стеснява още повече в различните контексти на всекидневния език. Когато изказваме изречения като „Всеки е съгласен с това“, „всеки“ най-често е ограничено не просто до хората, а до определена група от хора – например до хората, които присъстват, или до тези, които са запознати с дискутираната тема, и т.н. Във връзка с това често срещано ограничаване на универсума на дискусията в логиката се въвежда понятието универсум на дискурса. Това е множеството от нещата, върху които пробягват стойностите на променливите ни в дадения контекст. Ще го означаваме накратко с „D“. При символното представяне на твърденията ще можем да ограничаваме или не универсума на дискурса D, така че в него да се включват всички неща или само част от тях. Когато го ограничаваме, ще трябва да посочваме изрично кое e множеството D. Ако не казваме кое е, ще подразбираме, че универсумът на дискурса включва в себе си всички неща.
Като ограничим универсума на дискурса върху множеството на всички хора, горните две твърдения – „Някой харесва Сократ“ и „Всеки харесва Сократ“ – ще се представят символно съответно с „∃xFxa“ и „∀xFxa“ (“F” отговаря на “…харесва…”, а „а“ на „Сократ“). Понеже променливата „х“ приема като стойности всички неща от универсума на дискурса, а те в случая са ограничени до хората, смисълът на „∃x“ вече не е „има някакво нещо, за което важи, че“, а „има някакъв човек, за който важи, че“. Съответно смисълът на „∀x“ не е „за всяко нещо важи, че“, а „за всеки човек важи, че“.
Ограничаването на универсума на дискурса опростява символното представяне, тъй като намалява с една използваните букви за предикати – буквата, която иначе би представяла символно предиката, под който попадат нещата в универсума на дискурса, например „човек“, ако универсумът на дискурса са хората. Всяко твърдение, което е представено символно с ограничаване на универсума на дискурса, може да се представи символно и без ограничаване, като се перифразира така, че то самото да ограничава нещата, за които говори. Видяхме как става това в случая с „Някой уважава Сократ“ и „Всеки уважава Сократ“. В общия случай, всяко екзистенциално твърдение, което представяме символно с „∃x(…x…)“, като универсумът на дискурса е ограничен до дадено множество, на което отговаря даден предикат, би могло да се представи символно и без такова ограничаване с „∃x(Gx ∧ …x…)“, където „G“ (или друга буква) представя символно въпросния предикат. Съответно всяко универсално твърдение, което като ограничим универсума на дискурса бихме представили с „∀x(…x…)“, може да се представи символно без ограничаване с „∀x(Gx → …x…)“. Вижда се, че ограничаването на универсума на дискурса опростява символното представяне като намалява използваните букви за предикати с една (с „G“).
Ограничаването на универсума на дискурса обаче не винаги е възможно. За да може да го направим, всички неща, за които става въпрос в дадения контекст, трябва да са елементи на множество, на което отговаря някакъв предикат. Например изречението „Някои харесва Престъпление и наказание“ не може, подобно на „Някои харесва Сократ“, да бъде представено символно с ∃xFxa, като ограничим D върху хората, защото освен за хора в него се говори за нещо, което е роман, а не човек. То също е част от универсума на дискурса (съвкупността от всички неща в дадения контекст) и променливите ще имат като стойност също и него, което пречи стойностите им да бъдат ограничени върху хората.
|
(1)
За всяка от следните формули определете: - кой е обхватът на всеки квантор - кои участия на променливи са свързани и кои свободни - отворено изречение или твърдение представя като цяло изразът |
| 1) | ∃х(Fxy ∧ Gx) |
| 2) | ∃хFxy ∧ Gx |
| 3) | ∃х∀yFxy ∧ Gx |
| 4) | ∃х(Fxy ∧ ∀yGyx) |
| 5) | ∃хFxx ∨ ¬Gx |
| 6) | ∀y¬∃хFxy |
| 7) | ¬∀х(∃yFxy ∧ Gx) |
| 8) | ∀y[∀xFxy → ¬Gy] |
| 9) | ¬Gx → [¬∀y(¬Fxy ∨ ∃хGx)→Hy] |
| 10) | ∀y(∃yFxy ↔ Gy) |
| (2) Представете символно следните изречения, като използвате дадените означения: |
| 1) | Всеки прилеп е бозайник. (F – …е прилеп, G – …е бозайник) |
| 2) | Нищо не е различно от себе си. (F – …е различно от…) |
| 3) | Точките не са протяжни. (F – …е точка, G – …е протяжно) |
| 4) | Някои метали са течни. (F – …е метал, G – …е течно) |
| 5) | Всичко е крайно или безкрайно. (F – …е крайно) |
| 6) | Всичко е крайно или всичко е безкрайно. (като горното) |
| 7) | Някои акули не са хищници. (F – …е акула, G – …е хищник) |
| 8) | Всеки, който харесва Сократ, харесва и Платон. (F – …харесва…, a – Сократ, b – Платон, D – хората) |
| 9) | Ако всички хора са грешни, то и Папата е грешен. (F – …е човек, G – …е грешен, a – Папата) |
| 10) | Съществуват насекоми с 8 крака. (F – …e насекомо, G – …има 8 крака) |
| 11) | Иван даде нещо на Борис. (F – …даде…на…, i – Иван, b – Борис) |
| 12) | Борис не получи нищо от Иван. (като горното) |
| 13) | Иван даде на Борис една книга. (F – …даде…на…, G – …е книга, i – Иван, b – Борис) |
| 14) | Ана има ново колело. (F – …притежава…, G – …е нов, H – …е колело, a – Ана) |
| 15) | Видрата не е подходяща за домашен любимец. (F – …е видра, G – …е подходящо за домашен любимец) |
| 16) | Няма котки, които да не мъркат. (F – …е котка, G – …мърка) |
| 17) | Мразя змии. (F – …е змия, G – …мрази…, а – аз) |
| 18) | Само хората се смеят. (F – …е човек, G – …се смее) |
| 19) | Необходимо условие за това, нещо да е животно, е да се движи. (F – …е животно, G – …се движи) |
| 20) | Достатъчно, но не необходимо условие за това, едно число да е четно, е да се дели на 8. (F – …е четно, G – …се дели на 8, D – числата) |
| 21) | Иван не се интересува от нищо друго освен от своите кучета. (F – …се интересува от…, G – …е куче на…, i – Иван) |
| 22) | Ана избягва всичко, което не обича. (F – …избягва…, G – …обича…, a – Ана) |
| 23) | Ана харесва всичко, което харесва Борис. (F – …харесва…, a – Ана, b – Борис) |
| 24) | Иван не може да надбяга всеки от отбора. (F – …може да надбяга…, G – …е част от…, i – Иван, o – отбора) |
| 25) | Иван не може да надбяга който и да е от отбора. (като горното) |