3. Предикатна логика

3.1 Общи и единични термини

Пропозиционалната логика се занимава с тези логически отношения между твърденията, които зависят от логическите съюзи (конюнкция, дизюнкция, отрицание, импликация и еквивалентност). Твърденията, които не са съставени от по-прости твърдения посредством логически съюзи, в нея се разглеждат като структурно прости и се представят символно с букви за твърдения („p“, „q“, „r“,…). Съществуват обаче много изводи, чиято логическа валидност или невалидност зависи от логическата структура на тези „прости“ от гледна точка на пропозиционалната логика твърдения. Да разгледаме например следния логически валиден извод:

Предпоставките и заключението са твърдения, които не се състоят от други твърдения, затова от гледна точка на пропозиционалната логика те са прости и се представят символно с букви за твърдения. Като резултат на този логически валиден извод отговаря следната логически невалидна схема за извод на пропозиционалната логика, поради което за нея той би трябвало да не е валиден:

От значение за логическата валидност на (1) е думата „всички“, която е част от твърдението „Всички хора имат недостатъци“. За разлика от логическите съюзи тя не свързва изречения в нови изречения. За да може да анализира логически адекватно подобни изводи, логиката трябва да има средствата да представя символно подобни логически думи или изрази. Тази част от съвременната логика, която притежава въпросния логически инструментариум, се нарича предикатна логика. Предикатната логика съдържа в себе си пропозиционалната логика, така че всичко, което може да бъде направено с втората, може да бъде направено и с първата, но възможностите на първата са много по-големи. Всъщност предикатната логика е това което най-вече се разбира под „съвременна логика“.

За разлика от традиционната логика, където се говори просто за „термини“, от голямо значение в предикатната логика е разграничението между единични и общи термини¹. Единичните термини са думи или изрази, които служат да обозначават неща. Такива са например всички собствени имена (например „Сократ“, „Джон Ленън“ и т.н.) Единични термини са също така наречените „определени описания“, като „най-високият връх на Земята“ или „президентът на България“² – и двата израза служат да обозначат някакви неща. Единични термини са също различни изрази, съдържащи местоимения, като „тази врата“, „онзи човек отсреща“, „тя“ и т.н. Освен че обозначават за единичните термини се казва още, че реферират: изразът „най-високият връх на Земята“ реферира връх Еверест, „президентът на България“ реферира човека Росен Плевнелиев (в момента на писане на това изречение) и т.н. Това което прави единичните термини такива е функцията, която са предназначени да изпълняват в езика (да реферират обекти), а не това, дали успяват да изпълнят тази функция фактически, или не. Понякога те не успяват да обозначат нищо. Например собственото име „Пегас“ или определеното описание „най-голямото число“ не обозначават нищо, тъй като това, което се опитват да обозначат, не съществува.

От своя страна общите термини са такива думи или изрази, които не обозначават неща, а са истинни или неистинни за нещата. Те могат да бъдат съществителни имена („човек“), прилагателни имена („мъдър“), глаголи („спи“). Освен това могат да бъдат както отделни думи (като току що изброените), така и съставни изрази, като „наведе глава, отчаян и примирен“. (Същото впрочем важи и за единичните термини.) Общите термини се наричат още „предикати“ (оттам идва „предикатна логика“). Както вече казахме, характерно за предикатите е, че не обозначават определени неща, а са истинни или неистинни за всяко едно нещо. Така предикатът „философ“ е истинен за всички философи и е неистинен за хората, които не са философи, както и за нещата, които не са хора. Предикатът „спи“ е истинен за всичко което спи в момента и неистинен за всичко останало и т.н.

Освен общи термини, които са истинни или неистинни за нещата без оглед на други неща, като „човек“, „спи“ и т.н., има и общи термини, които са истинни или неистинни за два предмета взети заедно в определен ред, т.е. за един предмет по отношение на друг. Например предикатът „по-голям“ е истинен за София по отношение на Варна (или, иначе казано, за двойката, съставена от София и Варна) и неистинен за София по отношение на Париж (двойката, състояща се от София и Париж). Редът на нещата в двойките е важен, затова те се наричат „наредени двойки“. Например терминът „учител на“ е истинен за наредената двойка (Платон, Аристотел), защото Платон е учител на Аристотел, но не е истинен за наредената двойка (Аристотел, Платон), защото Аристотел не е учител на Платон. Има общи термини, които са истинни или неистинни за наредени тройки, наредени четворки и т.н. от неща. Например, ако приемем, че твърдението „Отело ревнува Дездемона от Касий“ е истинно, то общият термин „… ревнува … от …“ ще е истинен за наредената тройка (Отело, Дездемона, Касий). Съответно, ако твърдението „Иван даде коня си на Петър в замяна на неговата крава“ е истинно, то общият термин „… даде … на … в замяна на …“ ще истинен за наредената четворка (Иван, коня на Иван, Петър, кравата на Петър). Общите термини, които са истинни или неистинни за едно нещо, понякога се наричат „абсолютни общи термини“, или „термини за свойства“, а тези, които са истинни или неистинни за наредени двойки, тройки и т.н. от неща – „релативни общи термини“, или „термини за отношения“. Ще наричаме първите още „едноместни предикати“, а вторите – съответно „двуместни“, „триместни“,… и т.н. „предикати“ (събирателно – „многоместни предикати“).

Разликата между единични и общи термини понякога може да е тънка. Често тя се свежда само до употребата на определителен член. Например изразът „приятел на Мария“ е общ термин, а изразът „приятелят на Мария“ (или „приятеля на Мария“) е единичен термин. Логическата функция на първия израз е да е истинен или неистинен за нещата, докато на втория е да обозначи определено нещо. „Приятел на Мария“ ще продължи да е общ термин, дори ако Мария има един единствен приятел или няма никакви приятели. По същия начин „майка на Мария“, за разлика от „майката на Мария“, е общ термин, въпреки че не е възможно Мария да има повече или по-малко от една майка. Това, за колко неща е истинен един общ е термин – дали е за нула, за едно или за повече – както и това, дали един единичен термин успява да обозначи нещо, или не, не е от значение в логиката. От значение е само каква е функцията, или предназначението на израза. За логиката не е важно фактическото положение на нещата в света – тя се отнася до всички възможни светове, не само до нашия.

В предикатната логика се използват различни видове символи за единичните термини, от една страна, и за общите, от друга. Ще представяме символно единичните термини с малки латински букви („a“, „b“, „c“,…), които ще наричаме „индивидни константи“, а общите термини – с големи латински букви, обикновено започващи от „F“ нататък („F“, „G“, „H“,…), които ще наричаме „букви за предикати“.

Прости твърдения, като „Сократ е човек“, „Залезът е червен“, „Това куче спи“ и т.н., се представят символно чрез буква за предикат, последвана от индивидна константа. Например, ако представим символно предиката „човек“ с „F“ и единичния термин „Сократ“ – с „a“, твърдението „Сократ е човек“ ще бъде представено символно с „Fa“.

С „F“, „G“, „H“,… се представят символно не само едноместни, но и многоместни предикати. Например, ако представим двуместния предикат „уби“ с „F“ и единичните термини „Брут“ и „Цезар“ – съответно с „b“ и „с“, твърдението „Брут уби Цезар“ ще се представи символно с „Fbc“. По същия начин, ако представим предиката „ревнува“ с „G“, „Отело“ – с „a“, „Дездемона“ – с „b“ и „Касий“ – с „c“, твърдението „Отело ревнува Дездемона от Касий“ ще се представи символно с „Gabc“.

Твърдения като горните, които са образувани чрез свързване на (едноместен или многоместен) предикат с единични термини (един или повече), се наричат атомарни твърдения. Съответно, символните им представяния се наричат атомарни формули.

Когато определяме кой предикат с коя буква за предикат ще представяме символно, трябва да е ясно колко-местен е предикатът (дали е едноместен, двуместен … и т.н.) и къде точно са тези места – къде могат да бъдат поставени единични термини в него, така че да се образува атомарно твърдение. Затова ще отбелязваме въпросните места с многоточие („…“). Ще пишем, например, „…е човек“ вместо „човек“, „…уби…“ вместо „уби“, „…ревнува…от…“ вместо само „ревнува“. Така броят на многоточията ще определя броя на местата. „Ревнува“, например, може да се използва както като двуместен, така и като триместен предикат. Като посочваме изрично къде са местата за единични термини в него, показваме как възнамеряваме да го използваме. Многоточията ще изпълняват и друга функция. Нека видим каква е с пример. Да кажем, че искаме да представим символно геометричното твърдение „Точка А е между точки B и C“. Решаваме да представим символно триместния предикат „между“ с „F“ и обозначаваме точките А, B и C съответно с константите „a“, „b“ и „c“. Тогава има поне два различни начина да представим символно това твърдение: с „Fabc“ или с „Fbac“. В първия случай се ръководим от реда, в който единичните термини „точка А“, „точка B“ и „точка C“ се появяват в изречението „Точка А е между точки B и C“. По същия начин във формулата първо е „а“, после е „b“ и накрая е „c“. Във втория случай се ръководим от значението на твърдението. Понеже то ни казва, че точка A е между точките B и C, в символното представяне „a“ се намира между „b“ и „c“. До тук и двата начина са допустими – единственото правило за символното представяне на атомарните твърдения, което сме приели, е буквата за предикат да стои преди константите и както „Fabc“, така и „Fbac“ го съблюдават. Тук обаче имаме проблем. Какво би станало, ако ни е дадена само формулата „Fabc“ заедно с интерпретацията на символите ѝ, но не ни е дадено изречение, което формулата е предназначена да представя символно? Тогава не можем да бъдем сигурни какво е значението на формулата. Дали означава, че точка А е между точки B и C, или че B е между А и C, или нещо друго? Формулата е двусмислена (и три-смислена). За да премахнем възможността за такива двусмислености, ще въведем правилото, че редът на константите в една атомарна формула трябва да е същият като реда на местата в предиката, на който формулата отговаря. Тъй като многоточията показват къде в предиката са тези места, важността на използването им става очевидна. Заради новото правило, при горната интерпретация на символите ѝ, формулата „Fabc“ ще означава, че A е между B и C, а не, че B е между A и C. По подобен начин, ако „F“ представя символно предикатът „…уби…“, а „b“ и „c“ обозначават съответно Брут и Цезар, „Fbc“ ще означава, че Брут уби Цезар (а не че Цезар уби Брут). Причината за това е, че интерпретацията на „F“ е дадена чрез предиката „…уби…“, в който мястото за името на този, който е убил, е преди мястото за името на този, който е бил убит, а във формулата „b“ е преди „c“.

След като вече можем да представяме символно атомарни твърдения, можем да представяме символно и съставни твърдения, които са получени от атомарни посредством логически съюзи. Ето два примера:

Примерите ясно показват задълбочаването на логическия анализ в сравнение с пропозиционалната логика. В рамките на пропозиционалната логика щяхме да представим двете твърдения например с „p∨q“ и „¬r→p“ (където „p“ отговаря на „Ана се сърди на Борис“, „q“ – на „Борис се сърди на Ана“ и „r“ – на „Борис е поздравил Ана“). При символното представяне в момента твърденията има същата обща форма, но анализът е навлязъл във вътрешната логическа структура на простите твърдения („p“, „q“ и „r“), която пропозиционалната логика не анализира.

Добре е при символното представяне да се стремим да експлицираме максимално логическата форма на твърденията. Така например, ако при второто изречение бяхме представили с „G“ предиката „…не е поздравил…“ вместо предиката „…е поздравил…“, антецедентът на импликацията „Борис не е поздравил Ана“ щеше да се представи с „Gba“ вместо с „¬Gba“. Тогава логическата форма на цялото твърдение нямаше да е максимално експлицирана, защото антецедентът в него има формата на отрицание – нещо, което нямаше да се вижда в символния израз. Това обаче може да е от значение за правилното определяне на логическата валидност на изводи, от които това твърдение е част.

Ето още няколко примера на символно представяне на твърдения, получени чрез свързване на две или повече атомарни твърдения с логически съюзи:

Задачи