2.5 Правила за валидност на силогизмите

В традиционната логика са формулирани общи правила, които изпълняват ролята на критерий (необходимо и достатъчно условие) за това, дали един силогизъм е логически валиден, или не. Част от правилата използват понятието за разпределеност на термините в едно категорично твърдение.

Разпределени и неразпределени термини

Това, което се казва в произволно категорично твърдение, може да се интерпретира като утвърждаване на определено отношение между обемите на субекта и предиката в него. В зависимост от това, дали твърдението е утвърдително, или отрицателно, отношението е съответно на включване или на изключване. Субектът или предикатът са разпределени или неразпределени в едно твърдение в зависимост от това, дали участват във въпросното отношение с целия си обем, или само с част от обема си. По този начин разпределеността на един термин зависи изцяло от вида на твърдението и от това, дали терминът е субект, или предикат в него.

Когато някой изказва едно общо-утвърдително (A) твърдение („Всяко S е Р“), той се ангажира с това, че целият обем на субекта S се включва в обема на предиката Р, но не се ангажира с това, че целият обем на предиката се включва в обема на субекта (ако всяко S е P, някаква част от Р ще се включва в S¹, но не е задължително да е цялата). Затова в отношението на включване, изразявано от едно А-твърдение, субектът участва с целия си обем, а предикатът – само с част от обема си, т.е. в А-твърдението субектът е разпределен, а предикатът е неразпределен.

В едно общо-отрицателното (E) твърдение („Нито едно S не е Р“) се твърди, че целият обем на S, че се изключва от целия обем на Р. Затова в отношението на изключване, изразявано от едно общо-отрицателно твърдение, както субектът, така и предикатът участват с целия си обем, т.е. в Е-твърдението и субектът, и предикатът са разпределени.

В едно частно-утвърдително (I) твърдение („Някои S са Р“) се съдържа, че част от обема на S се включва в обема на Р и (като следствие) – че част от обема на Р се включва в обема на S, но в него не се съдържа нито, че целият обем на S се включва в този на Р, нито че целият обем на Р се включва в този на S. (Макар че последните две неща са възможни, те не са задължителни, и който изказва едно I-твърдение, не се ангажира с тях.) Затова нито субектът, нито предикатът участват с целия си обем в отношението на включване, отговарящо на едно частно-утвърдително твърдение, т.е. в I-твърдението и субектът, и предикатът са неразпределени.

В едно частно-отрицателно (О) твърдение („Някои S не са Р“) се утвърждава, че част от обема на S се изключва от целия обем на Р. (Макар че е възможно целият обем на S да е извън този на Р, това не е задължително и не се утвърждава в О-твърдението.) Затова в отношението на изключване, отговарящо на едно частно-отрицателно твърдение, субектът участва само с част от обема си, а предикатът – с целия си обем, т.е. в О-твърдението субектът е неразпределен, а предикатът е разпределен .

Долната таблица обобщава понятието за разпределеност на термините в едно категорично твърдение:

Субектът е разпределен в двете общи твърдения (А и Е), a в двете частни (I и О) – не е; предикатът е разпределен в двете отрицателни твърдения (E и О), a в двете утвърдителни (А и I) – не е. Затова разпределеността (неразпределеността) на термините може да се обобщи така:

Правила

Всяко от тези правила е такова, че един силогизъм задължително трябва да го спазва, за да е валиден, т.е. всяко правило е необходимо условие за валидност на който и да е силогизъм. От друга страна всеки невалиден силогизъм нарушава едно или повече от тези правила. Това означава, че ако един силогизъм удовлетворява всички правила, той ще е валиден, т.е. взети заедно правилата са достатъчно условие за валидност на един силогизъм. Взети поотделно обаче те не са достатъчно условие за валидност – един силогизъм може да е невалиден и да удовлетворява едно или повече от правилата, това което не може обаче е да удовлетворява всичките.

Ще въведем пет правила, които в своята цялост са достатъчни за да разграничат валидните от невалидните силогизми. След това, за удобство, ще въведем още две, които е формулирал Аристотел. Когато един силогизъм удовлетворява въпросните пет правила, той е валиден; когато нарушава едно (или повече) от тях, той е невалиден. Две от правилата се отнасят до разпределеността на термините, а другите три – до отрицателните твърдения; допълнителните две се отнасят до частните твърдения.

• Средният термин трябва да е разпределен в поне една от предпоставките.

Причината за това правило e опосредстващата роля на средния термин. Един силогизъм е валиден, когато отношението между обемите на двата крайни термина (S и P), утвърждавано в заключението, е следствие от отношенията, които всеки от крайните термини има със средния термин (М) в предпоставките. Ако и в двете предпоставки средният термин не е разпределен, той в отношение към всеки от крайните термина само с част от обема си. Тогава е възможно въпросните две части да нямат общи елементи, в резултат на което той няма да може да осъществи опосредстващата си роля – отношението между крайните термини, утвърждавано в заключението, няма да следва от утвърждаваните в предпоставките отношения на крайните термини към средния термин.

Пример за силогизъм, който нарушава това правило и съответно е невалиден, е ААI-2:

Неразпределеността на средния термин („бозайник“) допуска само част от бозайниците да са делфини и само част от бозайниците да са тюлени. В случая двете части нямат общи елементи, което прави заключението неистинно.

• Ако някой от крайните термини е разпределен в заключението, той трябва да е разпределен и в предпоставката.

Причината за правилото отново е опосредстващата роля на средния термин. Ако един краен термин не е разпределен в предпоставката, е възможно да в отношение със средния термин само с част от обема си. Ако се е случило да е така и средният термин успее успешно да осъществи опосредстващата си роля и да осигури връзка на въпросния краен термин с другия краен термин, то тя ще е най-много с въпросната част от обема на първия краен термин. Но ако е разпределен в заключението, първият краен термин ще е в отношение към втория с целия си обем, което е невъзможно. По същество това правило ни казва, че в заключението не може да се съдържа повече отколкото се съдържа в предпоставките.

Това правило може да бъде нарушено от малкия или от големия термин (може и от двата). Ето пример, при който е нарушено от големия термин, AEE-1:

Проблемът е в големия термин („бозайник“), който е разпределен в заключението (тъй като там е предикат на отрицателно твърдение), но не е разпределен в предпоставката (тъй като там е предикат на утвърдително твърдение).

Ето пример, при който малкият термин нарушава правилото, AAA-3:

Малкият термин („животно“) е разпределен в заключението (тъй като там е субект на общо твърдение), но не е разпределен в предпоставката (тъй като там е предикат на утвърдително твърдение).

• Силогизъм с две отрицателни предпоставки е невалиден (т.е., поне една от предпоставките трябва да е утвърдителна.)

Всяко отрицателно твърдение (включително и частно) позволява обемите на субекта и предиката да са напълно изключващи се (без общи елементи). Така че, ако двете предпоставки са отрицателни, това винаги допуска множествата на S и на P да са напълно изключени от множеството на M (средния термин). Обаче очевидно е, че тогава би могло да е факт всяко възможно отношение между множествата на S и P – те могат частично или напълно да се изключват едно от друго, както и частично или напълно да се включват едно в друго. Поради това в този случай не може да се направи определен извод. Пример за силогизъм, който нарушава това правило, е EEE-1:

В следващото правило отново става въпрос за отрицателни твърдения.

• Ако една от предпоставките е отрицателна, заключението също трябва да е отрицателно.

Това правило е еквивалентно (по транспозиция) на правилото, че ако заключението е утвърдително, то предпоставките (и двете) също трябва да са утвърдителни. Да приемем, че една от предпоставките е отрицателна. Другата предпоставка трябва да е утвърдителна (заради предишното правило). Всяко утвърдително изречение (включително и частно) позволява субектът и предикатът му да имат да имат един и същ обем – това винаги е възможно. Поради това обемът на един от двата крайни термина (малкия или големия) и на средния термин може да е едно и също множество. В същото време отрицателната предпоставка винаги позволява обемите на средния термин и на другия краен термин да са напълно изключващи се. По този начин, ако една от предпоставките е отрицателна, винаги съществува възможността малкият и големият термин да бъдат напълно изключващи се. Този възможен случай изключва утвърдително заключение (в този случай заключението ще е неистинно при истинни предпоставки). Силогизъм, който нарушава това правило и съответно е невалиден, е например ЕII-2:

Последното от правилата е, следното:

• Ако заключението е отрицателно, поне една от предпоставките също трябва да е отрицателна.

Правилото прилича на предишното, но е в другата посока – от заключението към предпоставките. То е еквивалентно (по транспозиция) на правилото, че ако и двете предпоставки са утвърдителни, заключението също трябва да е утвърдително. Ще покажем валидността му в тази му форма. Тъй като всяко утвърдително изречение позволява субектът и предикатът му да имат един и същ обем, при две утвърдителни предпоставки винаги съществува възможността обемите на малкия, големия и средния термин да са едно и също множество. Този възможен случай изключва отрицателно заключение (при него заключението ще е неистинно, а предпоставките истинни). Пример за силогизъм, който нарушава това правило е АAО-2:

Горният силогизъм нарушава и правилото, че средният термин трябва да е разпределен в поне една от предпоставките. Това се случва не рядко – ако един силогизъм е невалиден, той нарушава поне едно от правилата, но може да нарушава и повече от едно.

Събрани на едно място, правилата за валидност на силогизмите са следните:

Взети заедно тези пет правила са достатъчни за да отделят валидните от невалидните силогизми. Никой валиден силогизъм не нарушава никое от тях и всеки невалиден силогизъм нарушава поне едно от тях. Така че разполагаме със следния начин за проверка на валидността на произволен силогизъм. Проверяваме последователно дали силогизмът нарушава някое от правилата. Ако стигнем до такова правило, спираме проверката – силогизмът е невалиден. Ако удовлетвори и последното правило, силогизмът е валиден.

Макар и горните пет правила да са достатъчни за разграничаването на валидните от невалидните силогизми, към тях ще добавим следните две правила, в които се говори за частни твърдения:

• Не може и двете предпоставки да са частни.
• Ако една от предпоставките е частна, заключението също трябва да е частно.

Тези правила са формулирани от Аристотел и могат да бъдат изведени от горните. Всяко от тях е необходимо условие за валидност на един силогизъм. Правилата са подобни на две от трите горни правила, в които се говори за отрицателни предпоставки – на това, че ако някоя предпоставка е отрицателна, заключението също трябва да е отрицателно, и на това, че не може и двете предпоставки да са отрицателни. Аналогът на третото такова правило – това, че ако заключението е отрицателно, поне една от предпоставките също трябва да е отрицателна, не е валиден. Не е вярно, че ако заключението е частно, поне една от предпоставките също трябва да е частна. Например силогизмите AAI-3 и AAI-4 са валидни. (Правилото обаче е валидно за съвременната логика, която третира общите твърдения по такъв начин, че от две общи не може да следва частно. По-подробно за това виж в следващата секция 2.6 Диаграми на Вен.)

Макар и да можем да минем без тях, двете допълнителни правила са удобни за отхвърляне на някои невалидни силогизми, тъй като са по-лесни за прилагане от правилата, които говорят за разпределеност на термините. Така например за невалидния силогизъм IOO-1 веднага се вижда, че има две частни предпоставки, докато от горните пет правила той нарушава само правилото, че термин, разпределен в заключението, трябва да е разпределен и в предпоставката, което не е толкова лесно да се види:

Големият термин P е разпределен в заключението (тъй като е предикат в отрицателно изречение), а е неразпределен в предпоставката (тъй като е предикат в утвърдително изречение).

Задачи